Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Postingan berikut adalah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
melengkapkan kuadrat sempurna, terutama untuk kelas IX sebagai usaha
pemantapan ruang lingkup ALJABAR.

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua.
Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat juga kita katakan
Persamaan Kuadrat adalah
persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya dua.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat ditulis $\Large a{\color{Blue}
x}^{2}+b{\color{Blue} x}+c=0$, ini disebut persamaan kuadrat dengan variabel
$\Large {\color{Blue} x}$

Dimana:

• $\Large a$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $2$


• $\Large b$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $1$


• 
  $\Large c$ disebut dengan koefisien variabel berpangkat $0$ (sering di sebut
  dengan konstanta)
  

Contoh:

1. 
   $ 2x^{2}-5x+3=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large x$
   


2. 
   $ t^{2}-8t-9=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large t$
   


3. 
   $ p^{2}+10p+21=0$ $\Rightarrow$ Persamaan Kuadrat dengan variabel $ \Large
   p$
   

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar Persamaan Kuadrat adalah nilai variabel (peubah) yang mengakibatkan
persamaan kuadrat itu benar atau nilai variabel (peubah) yang memenuhi
persamaan kudrat.

Akar-akar Persamaan Kuadrat $ x^{2}-x+12=0$ adalah $x=2$ atau $x=6$, karena
jika $x=2$ kita substituskan ke Persamaan Kuadrat, maka hasilnya adalah $0$

$\begin{align} x^{2}-8x+12 & = 0 \\ 2^{2}-8(2)+12 & = 0 \\ 4-16+12
& = 0 \\ -12+12 & = 0 \\ 0 & = 0 \\ \end{align}$

Pada langkah terakhir kita perhatikan bahwa hasilnya benar, ini membuktikan
bahwa $x=2$ merupakan pembuat nol Persamaan Kuadrat yang disebut dengan
istilah akar-akar Persamaan Kuadrat. Jika kita lakukan hal yang sama untuk
$x=6$ maka kita akan memperoleh hasil yang sama yaitu $x^{2}-8x+12=0$,
sehingga $x=6$ juga merupakan akar dari persamaan kuadrat $ x^{2}-8x+12=0$.

Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $x$, umumnya disimbolkan dengan
$x_{1}$ atau $x_{2}$. Tetapi $x_{1}$ atau $x_{2}$ tidak menjadi simbol yang
tetap dapat juga dipakai simbol lain dengan keterangan, misalnya dikatakan
$\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Banyak akar-akar persamaan kuadrat adalah satu atau dua. Untuk mendapatkan
akar-akar persamaan kuadrat yang paling umum dikenal adalah dengan

• cara memfaktorkan persamaan kuadrat, 


• melengkapkan kuadrat sempurna, dan 


• rumus abc.

Sekarang kita coba berdiskusi bagaimana menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat
dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Kenapa metode ini dikatakan dengan
metode melengkapkan kuadrat sempurna, karena persamaan kuadrat yang ada kita
ubah bentuknya menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna ini juga dapat dipakai untuk
sampai ke rumus abc. Untuk lebih lengkapnya mari kita lihat penjabaran bentuk
persamaan kuadrat berikut ini:

$\begin{align} ax^{2}+bx+c & = 0 \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{bagi dengan}\ a \\ \hline x^{2}+\frac{bx}{a}+\dfrac{c}{a} & = 0 \\ x^{2}+\frac{bx}{a} & =-\dfrac{c}{a} \\ \hline \text{kedua ruas kita}\ & \text{tambah dengan}\ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} \\ \hline x^{2}+\frac{bx}{a}+ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}\right)^{2} \\ x^{2}+\frac{bx}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & =-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = \frac{b^2}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} & = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \end{align}$

Dari bentuk di atas kita sudah peroleh ruas kiri sudah dalam bentuk kuadrat
sempurna. Apabila kita lanjutkan bentuk di atas dengan menggunakan
aturan-aturan aljabar yang ada maka kita akan dapatkan akar-akar persamaan
kuadrat.

Soal Latihan dan Pembahasan Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk bahan diskusi menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat sempurna.

1. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-1=0$ dengan melengkapkan kuadrat
sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} x^{2}-1 &= 0 \\ x^{2} &= 1 \\ \hline x & =
\pm\sqrt{1} \\ x & = \pm 1 \\ \hline x_{1} & = 1 \\ x_{2} & = -1
\\ \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-1=0$ adalah $-1$ atau $1$

2. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+4x+1=0$ dengan melengkapkan
kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} 4x^{2}+4x+1 &= 0 \\ 4x^{2}+4x &= -1 \\ x^{2}+ x
&= -\frac{1}{4} \\ x^{2}+ x + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} &=
-\frac{1}{4} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\ \left(x+
\frac{1}{2}\right)^{2} &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ \left(x+
\frac{1}{2}\right)^{2} &= 0 \\ x+ \frac{1}{2} &= 0 \\ x &= -
\frac{1}{2} \end{align}$

Akar-akar $4x^{2}+4x+1=0$ adalah $-\dfrac{1}{2}$, persamaan kuadrat seperti
ini dimana persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu penyelesaian disebut
dengan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar kembar.

3. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $-3x^{2}-5x+2=0$ dengan melengkapkan
kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} -3x^{2}-5x+2 &= 0 \\ -3x^{2}-5x &= -2 \\
x^{2}-\frac{5}{-3}x &= -\frac{2}{-3} \\ x^{2}+\frac{5}{3}x &=
\frac{2}{3} \\ x^{2}+\frac{5}{3}x + \left(\frac{1}{2} \cdot
\frac{5}{3}\right)^{2} &= \frac{2}{3} + \left( \frac{1}{2} \cdot
\frac{5}{3}\right)^{2} \\ x^{2}+\frac{5}{3}x + \left( \frac{5}{6}
\right)^{2} &= \frac{2}{3} + \left( \frac{5}{6} \right)^{2} \\ \left( x
+ \frac{5}{6} \right)^{2} &= \frac{2}{3} + \frac{25}{36} \\ \left( x +
\frac{5}{6} \right)^{2} &= \frac{24}{36} + \frac{25}{36} \\ x +
\frac{5}{6} &= \pm \sqrt{ \frac{49}{36} } \\ x &= -\frac{5}{6} \pm
\frac{7}{6} \\ \hline x_{1} &= -\frac{5}{6} - \frac{7}{6}=-2 \\ x_{2}
&= -\frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{1}{3} \end{align}$

Akar-akar $-3x^{2}-5x+2=0$ adalah $\dfrac{1}{3}$ atau $-2$

4. Soal Latihan Melengkapakan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}-x-3=0$ dengan melengkapkan
kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} 2x^{2}-x-3 &= 0 \\ 2x^{2}-x &= 3 \\
x^{2}-\frac{1}{2}x &= \frac{3}{2} \\ x^{2}-\frac{1}{2}x +
\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2} &= \frac{3}{2} + \left(
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2} \\ x^{2}-\frac{1}{2}x + \left(
\frac{1}{4} \right)^{2} &= \frac{3}{2} + \left( \frac{1}{4} \right)^{2}
\\ \left( x - \frac{1}{4} \right)^{2} &= \frac{3}{2} + \frac{1}{16} \\
\left( x - \frac{1}{4} \right)^{2} &= \frac{24}{16} + \frac{1}{16} \\ x
- \frac{1}{4} &= \pm \sqrt{ \frac{25}{16} } \\ x &= \frac{1}{4} \pm
\frac{5}{4} \\ \hline x_{1} &= \frac{1}{4} - \frac{5}{4}= -1 \\ x_{2}
&= \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2} \end{align}$

Akar-akar $2x^{2}-x-3=0$ adalah $-1$ atau $\dfrac{3}{2}$

5. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ dengan
melengkapkan kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} x^{2}-x+\frac{1}{4} &= 0 \\ x^{2}-x &= -\frac{1}{4}
\\ x^{2}-x + \left(\frac{1}{2} \right)^{2} &= -\frac{1}{4} + \left(
\frac{1}{2} \right)^{2} \\ x^{2}-x + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} &=
-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} &= 0 \\
x - \frac{1}{2} &= 0 \\ x &= \frac{1}{2} \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-x+\dfrac{1}{4}=0$ adalah $\dfrac{1}{2}$

6. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ dengan melengkapkan
kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} x^{2}-5x+6 &= 0 \\ x^{2}-5x &= -6 \\ x^{2}-5x +
\left(\frac{1}{2} \cdot 5 \right)^{2} &= -6 + \left( \frac{1}{2} \cdot 5
\right)^{2} \\ x^{2}-5x + \left( \frac{5}{2} \right)^{2} &= -6 + \left(
\frac{5}{2} \right)^{2} \\ \left( x - \frac{5}{2} \right)^{2} &= -6 +
\frac{25}{4} \\ \left( x - \frac{5}{2} \right)^{2} &= \frac{-24}{4} +
\frac{25}{4} \\ x - \frac{5}{2} &= \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ x &=
\frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\ \hline x_{1} &= \frac{5}{2} -
\frac{1}{2}= 2 \\ x_{2} &= \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \end{align}$

Akar-akar $x^{2}-5x+6=0$ adalah $2$ atau $3$

7. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-15=0$ dengan melengkapkan
kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} x^{2}+2x-15 &= 0 \\ x^{2}+2x &= 15 \\ x^{2}+2x +
\left(\frac{1}{2} \cdot 2 \right)^{2} &= 15 + \left( \frac{1}{2} \cdot 2
\right)^{2} \\ x^{2}+2x + \left( 1 \right)^{2} &= 15 + \left( 1
\right)^{2} \\ \left( x + 1 \right)^{2} &= 15 + 1 \\ x + 1 &= \pm
\sqrt{ 16 } \\ x &= -1 \pm 4 \\ \hline x_{1} &= -1 + 4 = 3 \\ x_{2}
&= -1 - 4 = -5 \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+2x-15=0$ adalah $-5$ atau $3$

8. Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x-12=0$ dengan melengkapkan
kuadrat sempurna?

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} x^{2}+4x-12 &= 0 \\ x^{2}+4x &= 12 \\ x^{2}+4x +
\left(\frac{1}{2} \cdot 4 \right)^{2} &= 12 + \left( \frac{1}{2} \cdot 4
\right)^{2} \\ x^{2}+4x + \left( 2 \right)^{2} &= 12 + \left( 2
\right)^{2} \\ \left( x + 2 \right)^{2} &= 12 + 4 \\ \left( x + 2
\right)^{2} &= 16 \\ x + 2 &= \pm \sqrt{ 16 } \\ x &= -2 \pm 4
\\ \hline x_{1} &= -2 + 4 = 2 \\ x_{2} &= -2 - 4 = -6 \end{align}$

Akar-akar $x^{2}+4x-12=0$ adalah $-6$ atau $2$