Akar-Akar Persamaan Kuadrat | Kelas IX SMP
Pengertian dari akar persamaan kuadrat adalah nilai pengganti $x$ yang
memenuhi persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c$, yang biasanya dituliskan sebagai
$x_1$ dan $x_2$. Akar-akar disebut juga sebagai penyelesaian atau pemecahan.
Jika akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$, maka selalu berlaku hubungan
$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$ dan $ax_2^2 + bx_2 + c = 0$. Persamaan kuadrat
mempunyai satu atau dua akar. Akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan
tiga cara, yaitu: memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan
rumus ABC.
Daftar isi
1 Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat
2 Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
2.1 Cara Memfaktorkan Bentuk $ax^2 + bx = 0$
2.2 Cara Memfaktorkan Bentuk $x^2 + bx + c = 0$
2.3 Cara Memfaktorkan Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$
3 Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
4 Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC
Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, tergantung bentuk
persamaan kuadratnya. Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat difaktorkan
jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah rasional. Secara umum bentuk
$ax^2 + bx + c = 0$ diubah menjadi $(x - P)(x - Q) = 0$. Bentuk-bentuk
persamaan kuadrat yang mudah difaktorkan adalah:
A. Bentuk $ax^2 + bx = 0$
B. Bentuk $x^2 + bx + c = 0$
C. Bentuk
$ax^2 + bx + c = 0$
A. Memfaktorkan Bentuk $ax^2 + bx = 0$
Bentuk $ax^2 + bx = 0$ dapat diubah menjadi $x(ax + b) = 0$, sehingga
akar-akarnya menjadi: $x_1 = 0$ dan $x_2 = \dfrac{-b}{a}$
Contoh soal 1.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 - 6x = 0$
Pembahasan:
$2x^2 - 6x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
$x = 0\
atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = 0\ atau\ x_2 = 3$
Contoh soal 2.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 4x = 0$
Pembahasan:
$3x^2 + 4x = 0$
$x(3x + 4) = 0$
$x = 0\ atau\ 3x + 4 =
0$
$x_1 = 0\ atau\ x_2 = -\dfrac{4}{3}$.
B. Memfaktorkan bentuk $x^{2} + bx + c = 0$
Jika akar-akar dari $x^2 + bx + c = 0$ adalah rasional, maka bentuk $x^2 + bx
+ c = 0$ dapat kita ubah menjadi bentuk $(x + P)(x + Q) = 0$. Dengan $P.Q = c$
dan $P + Q = b$. Dengan bahasa sederhana : dua bilangan jika dikalikan dan
hasilnya adalah $c$ dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $b$.
Contoh soal 3.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - 4x + 3 = 0$
Pembahasan:
$x^{2} - 4x + 3 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 3 dan jika dijumlahkan hasilnya
adalah $-4$. Tidak perlu berpikir keras untuk menemukan, karena jawabnya hanya
membutuhkan sedikit nalar. Hal ini terpenuhi jika bilangannya adalah $-1\ dan\
-3$, karena $-1 + -3 = -4$ dan $(-1) \times (-3) = 3$. Secara matematis
ditulis:
$P.Q = 3\ dan\ P + Q = -4$
berarti $P = -1\ dan\ Q = -3$
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x - 1)(x - 3) = 0$
$x - 1 = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = 1\ atau\ x_2 = 3$.
Contoh soal 4.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + 7x + 12 = 0$
Pembahasan:
$x^{2} + 7x + 12 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 12 dan jika dijumlahkan hasilnya
adalah 7. Tentu sangat mudah untuk menentukannya bukan? Kedua bilangan
tersebut pastilah 3 dan 4, karena $3 \times 4 = 12$ dan $3 + 4 = 7$. Secara
matematis ditulis:
$P.Q = 12\ dan\ P + Q = 7$
berarti $P = 3\ dan\ Q = 4$.
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x + 3)(x + 4) = 0$
$x + 3 = 0\ atau\ x + 4 = 0$.
$x_1 = -3\ atau\ x_2 = -4$.
Contoh soal 5.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - x - 6 = 0$
Pembahasan:
$x^{2} - x - 6 = 0$
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah $-6$ dan jika dijumlahkan hasilnya
adalah $-1$. So pasti bilangan tersebut adalah $2\ dan\ -3$, karena $2 \times
-3 = -6$ dan $2 + (-3) = -1$. Secara matematis ditulis:
$P.Q = -6\ dan\ P + Q = -1$
$P = 2\ dan\ Q = -3$
Dengan demikian faktornya menjadi:
$(x + 2)(x - 3) = 0$
$x + 2 = 0\ atau\ x - 3 = 0$
$x_1 = -2\ atau\ x_2 = 3$.
C. Memfaktorkan bentuk $ax^{2} + bx + c = 0$
Akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat dengan mudah dicari
jika akar-akarnya rasional. Misalkan faktornya adalah $\dfrac{(ax + P)(ax +
Q)}{a} = 0$, dimana: $P.Q = ac\ dan\ P + Q = b$.
Contoh soal 6.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2} - x - 3 = 0$
Pembahasan:
$2x^{2} - x - 3 = 0$
$P.Q = 2.(-3) = -6$ dan $P + Q = -1$
berarti
$P = 2\ dan\ Q = -3$.
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(2x + 2)(2x -
3)}{2} = 0$
$\dfrac{\cancel2(x + 1)(2x - 3)}{\cancel2} = 0$
$(x +
1)(2x - 3) = 0$
$x + 1 = 0\ atau\ 2x - 3 = 0$
$x_1 = -1\ atau\ x_2
= \dfrac{3}{2}$
Contoh soal 7.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2} - 7x + 4 = 0 $
Pembahasan:
$3x^{2} - 7x + 4 = 0 $
$P.Q = 3.4 = 12$ dan $P + Q = -7$
berarti
$P = -3\ dan\ Q = -4.$
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(3x - 3)(3x -
4)}{3} = 0$
$\dfrac{\cancel3(x - 1)(3x - 4)}{\cancel3} = 0$
$(x -
1)(3x - 4) = 0$
$x - 1 = 0\ atau\ 3x - 4 = 0$
$x = 1\ atau\ x =
\dfrac{4}{3}$
Contoh soal 8 .
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $5x^{2} + 8x - 4 = 0$
Pembahasan:
$5x^{2} + 8x - 4 = 0$
$P.Q = 5.(-4) = -20$ dan $P + Q = 8$
berarti
$P = 10\ dan\ Q = -2.$
Faktornya menjadi:
$\dfrac{(5x + 10)(5x -
2)}{5} = 0$
$\dfrac{\cancel5(x + 2)(5x - 2)}{\cancel5} = 0$
$(x +
2)(5x - 2) = 0$
$x + 2 = 0\ atau\ 5x - 2 = 0$
$x_1 = -2\ atau\ x_2
= \dfrac{2}{5}$.
Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Terdapat masalah ketika memfaktorkan, karena P dan Q tidak selalu mudah
didapat. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat ketika kondisi
demikian bisa kita lakukan dengan cara melengkapkan bentuk-bentuk kuadrat.
Jika persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, ubah sehingga koefisien dari
$x^2$ bernilai satu dengan cara membagi persamaan kuadrat menjadi:
$\begin{align*} x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{ a} &= 0 \\ x^2 +
\dfrac{b}{a}x &= - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 -
\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 &= - \dfrac{c}{a} \\ \left(x +
\dfrac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}
\\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right) &= ±
\sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}} \\ x &=
-\dfrac{b}{2a} ± \sqrt{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{c}{a}}
\end{align*}$
dan seterusnya....
Untuk melatih pemahaman, dapat mempelajari contoh-contoh soal berikut.
Contoh soal 9.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2} + 5x + 3 = 0$
Pembahasan:
$2x^{2} + 5x + 3 = 0$
$2x^{2} + 5x = -3$
$x^{2} + \dfrac{5}{2}x = -\dfrac{3}{2}$
$\left(x + \dfrac{5}{4}\right)^{2} -
\left(\dfrac{5}{4}\right)^{2} = -\dfrac{3}{2}$
$\left(x +
\dfrac{5}{4}\right)^{2} = \left(\dfrac{25}{16}\right) - \dfrac{24}{16}$
$\left(x
+ \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \dfrac{1}{16} $
$\left(x +
\frac{5}{4}\right) = ± \dfrac{1}{4} $
$x = -\dfrac{5}{4} ±
\dfrac{1}{4}$
$x = -\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4}$ atau $x =
-\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}$
$x_1 = -1$ atau $x_2 = -\dfrac{3}{2}$.
Contoh soal 10.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2} + 6x + 2 = 0$
Pembahasan:
$3x^{2} + 6x + 2 = 0$
$3x^{2} + 6x = -2$
$x^{2} + 2x =
-\dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} - 1 = -\dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = 1
- \dfrac{2}{3}$
$(x + 1)^{2} = \dfrac{1}{3}$
$(x + 1) =
±\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$(x + 1) = ±\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$
$x_1 = -1
+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ atau $x_2 = -1 - \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$.
Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC
Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan menggunakan rumus yang disebut
dengan Rumus ABC. Perhatikan rumus ABC berikut:
$x_{1,2} = \dfrac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
Contoh soal 11.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^{2} - 3x - 5 = 0$
Pembahasan:
$a = 2,\ b = -3,\ c = -5$
$x_{1,2} = \dfrac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \dfrac{-(-3) ± \sqrt{(-3)^{2} - 4.2.(-5)}}{2.2}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± \sqrt{49}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{3 ± 7}{4}$
$x_1 = \dfrac{3 + 7}{4}$ dan $x_2 = \dfrac{3 - 7}{4}$
$x_1 = \dfrac{5}{2}$ dan $x_2 = -1$
Contoh soal 12.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2} + 4x - 4 = 0$
Pembahasan:
$3x^{2} + 4x - 4 = 0$
$a = 3,\ b = 4,\ c = -4$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{4^{2} - 4.3.(-4)}}{2.3}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{16 + 48}}{6}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± \sqrt{64}}{6}$
$x_{1,2} = \dfrac{-4 ± 8}{6}$
$x_1 = \dfrac{-4 + 8}{6}$ dan $x_2 = \dfrac{-4 - 8}{6}$
$x_1 = \dfrac{4}{6}$ dan $x_2 = \dfrac{-12}{6}$
$x_1 = \dfrac{2}{3}$ dan $x_2 = -2$
🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
📚 "Akar-Akar Persamaan Kuadrat | Kelas IX SMP", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei
