BILANGAN DIGIT BERULANG (Rep-Digit)

Postingan ini tentang belajar bagaimana cara memecahkan masalah perhitungan
bilangan digit berulang, misalnya 1111, 22222222, 555555555555, 7777777777777777
dan sebagainya. Dalam bahasa Inggris bilangan yang terdiri dari bilangan asli
yang berulang disebut  rep-digit berasal dari kata Repeated Digit".

Contoh soal perhitungan yang akan kita bahas adalah :

Hitunglah :

$\underset{2017}{\underbrace{2222...22}}+\left (
\underset{2017}{\underbrace{3333...33}} \right )^{2}$

Sebelumnya, dapat diperhatikan dan pahami terlebih dahulu, pola bilangan
digit berulang berikut:

 
Perhatikan Pola untuk dapat  menemukan polanya !

$10^{1}-1=9$

$10^{2}-1=99$

$10^{3}-1=999$

$10^{4}-1=9999$

$10^{5}-1=99999$

$10^{6}-1=999999$

Dari pola di atas, kita bisa melihat bahwa nilai pangkat dari 10 pada ruas
kiri sama dengan banyaknya pengulangan angka 9 pada ruas kanan, atau
secara umum bisa kita tulis:

$10^{n}-1=\underset{sebanyak-n}{\underbrace{999...9}} $

Lalu bagaimana jika soal yang akan kita pecahkan digit berulangnya
bukan angka 9.  Kita akan mengubah bentuk di atas supaya lebih
umum dan dapat digunakan untuk berbagai bilangan:

$10^{n}-1=\underset{n}{\underbrace{999...9}}$

$10^{n}-1=9$ x $\underset{n}{\underbrace{111...1}}$

$\frac{1}{9}(10^{n}-1)=\underset{n}{\underbrace{111...1}}$

 

Lalu kedua ruas dikalikan dengan $a$ , maka diperoleh:

$\frac{a}{9}(10^{n}-1)=\underset{n}{\underbrace{aaa...a}}$

Jadi, 

Untuk setiap bilangan asli a dengan $1\leq a\leq 9$ berlaku
:

$\frac{a}{9}(10^{n}-1)=\underset{n}{\underbrace{aaa...a}}$

Bentuk umum di atas kita jadikan dasar untuk menyelesaikan
masalah-masalah perhitungan digit berulang.

Sekarang kita sudah siap untuk menjawab soal yang tadi !

Hitunglah :

$\underset{2017}{\underbrace{2222...22}}+\left (
\underset{2017}{\underbrace{3333...33}} \right )^{2}$

Penyelesaian :

$\begin{align}\underset{2017}{\underbrace{2222...22}}+\left
(\underset{2017}{\underbrace{3333...33}}
\right)^{2}&=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)+\left ( 
\frac{3}{9}(10^{2017}-1)\right)^{2}\\
&=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)+\left ( 
\frac{1}{3}(10^{2017}-1)\right )^{2}\\
&=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)+ 
 \frac{1}{9}(10^{2017}-1)^{2}\\
&=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}(10^{4034}-2(10^{2017})+1)\\
&={\color{Red}
\frac{2}{9}(10^{2017})}-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}(10^{4034}){\color{Red}
-\frac{2}{9}(10^{2017})}+\frac{1}{9}\\
&=\frac{1}{9}(10^{4034})-\frac{1}{9}\\
&=\frac{1}{9}(10^{4034})-1\\
&=\underset{4034}{\underbrace{111...1}} \end{align}$

 

Untuk pemahaman konsep dasar di atas, dapat dikembangkan secara mandiri,
dan untuk latihan, dapat di latih soal-soal berikut:

$\text{1. Jika}$

$\quad A=\underset{2016}{\underbrace{111...1}}$

$\quad B=\underset{2017}{\underbrace{1000....5}}$

$\quad \text{Tentukan nilai} \sqrt{AB+1}$



$\text{2. Hitunglah nilai dari}$

$\quad\sqrt{\underset{2011}{\underbrace{111...1}}\quad\underset{2012}{\underbrace{222...2}}}$