Memahami Modulo
Modulo atau
Modulus, bagi yang sudah terbiasa menghadapi soal-soal OSN
pastinya tidak asing dengan modulo. Pada kesempatan ini, akan sedikit membahas
konsep modulo sebagai referensi tambahan untuk mempersiapkan diri menghadapi OSN
matematika atau kompetisi matematika lainnya.
mencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa jika 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahwa 123=10×12+3, yang artinya jika
123 dibagi 12 maka akan bersisa 3. Dengan menggunakan modulo dapat kita tulis
123 mod 12=3 atau mod (123,12)=3
tulisan ini kami akan menggunakan tanda "=" agar lebih mudah dipahami, namun
perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai
berikut:
(a−b) atau "Jika a dibagi m maka akan bersisa b"
Contoh:
30 ≡ 2 mod 4
Artinya 4 membagi habis (30−2) atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan bersisa 2". Jika menggunakan tanda "=" dapat kita tulis 30 mod 4=2
Modulus, bagi yang sudah terbiasa menghadapi soal-soal OSN
pastinya tidak asing dengan modulo. Pada kesempatan ini, akan sedikit membahas
konsep modulo sebagai referensi tambahan untuk mempersiapkan diri menghadapi OSN
matematika atau kompetisi matematika lainnya.
Apa itu Modulo?
Modulo biasa digunakan untukmencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa jika 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahwa 123=10×12+3, yang artinya jika
123 dibagi 12 maka akan bersisa 3. Dengan menggunakan modulo dapat kita tulis
123 mod 12=3 atau mod (123,12)=3
Penulisan Modulo
Padatulisan ini kami akan menggunakan tanda "=" agar lebih mudah dipahami, namun
perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai
berikut:
a ≡ b mod myang artinya m membagi habis
(a−b) atau "Jika a dibagi m maka akan bersisa b"
Contoh:
30 ≡ 2 mod 4
Artinya 4 membagi habis (30−2) atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan bersisa 2". Jika menggunakan tanda "=" dapat kita tulis 30 mod 4=2
Aturan/Kaidah Dasar Modulo
Berikut ini beberapa kaidah dasar yang perlu anda pahami untuk
dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
1) Berapakah sisa 7 dibagi 9?
Jawab:
7 mod 9=7
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7
2) Berapakah sisa 35 dibagi 8?
Jawab:
35 mod 8=(4.8+3)
mod 8
Jadi, 35 dibagi 8 akan bersisa 3.
3) Berapakah sisa 120
dibagi 13?
Jawab:
120 mod 13=(10.13−10) mod 13
=3
Jadi, 120 dibagi 13 bersisa 3
Semoga kaidah
dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal
berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
(a+b) mod n=((a mod n)+(b mod n)) mod n
1) Berapakah sisa pembagian (10+17+21) oleh 9?
Jawab:
(10+17+21)
mod 9=(10 mod 9+17 mod 9+21 mod 9) mod 9
Jadi (10+17+21) jika dibagi 9 maka akan bersisa 3
2)
Berapakah sisa (2011+2012+2013+⋯+2018) dibagi 2019?
Jawab:
(2011+2012+2013+⋯+2018)
mod 2019
Jadi, (2011+2012+2013+⋯+2018) jika dibagi 2019 maka akan bersisa 1983
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
(ab) mod n=((a mod n)(b mod n)) mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian (7×9×10) oleh 8?
Jawab:
(7×9×10)
mod 8=((7 mod 8)(9 mod 8)(10 mod 8)) mod 8
2) Berapakah digit terakhir (satuan) dari (2016×2017×2018×2019)?
Jawab:
Menentukan
digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi
1010
(2016×2017×2018×2019) mod 10
Jadi, digit terakhir dari (2016×2017×2018×2019) adalah 4
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$a^{b}$ mod n=((a mod n)$^{b})$ mod n
Jawab:
$(7^{2019}$)mod 8
2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh 41?
Jawab:
$3^{2009}$ mod 41
3) Berapakah sisa $ (54^{54}+55^{55})$ jika dibagi 7?
Jawab:
(54$^{54}$+55$^{55}$) mod 7
Jadi, 5$4^{44}+55^{55}$ jika dibagi 7 tidak bersisa
Apa yang akan terjadi jika bentuk a≡b mod ma≡b mod m kita olah dengan
melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas?
anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita tambah c, maka berlaku:
(a+c)≡(b+c)
mod m
Contoh:
Jika pada 16≡1 mod 5, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: 19≡4
mod 5
Dapat kita lihat untuk pernyataan 19≡4 mod 5 bernilai benar,
karena 19=3×5+4 (19 bersisa 4 jika dibagi 5)
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kurangi c, maka berlaku:
(a−c)≡(b−c)
mod m
Contoh:
Jika bentuk 23≡7 mod 8, kedua ruas kita kurangi 5, maka kita peroleh:
18≡2 mod 8
Dapat kita lihat untuk pernyataan 18≡2 mod 8 bernilai benar, karena
18=2×8+2
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kali c, maka berlaku:
(ac)≡(bc) mod m
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita bagi c, maka berlaku:
a≡b mod$\frac{m}{FPB(m,c)}$
Demikianlah semoga bermanfaat.
dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
a mod n=(bn+c) mod n=c mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa 7 dibagi 9?
Jawab:
7 mod 9=7
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7
2) Berapakah sisa 35 dibagi 8?
Jawab:
35 mod 8=(4.8+3)
mod 8
=3 mod 8
=3
Jadi, 35 dibagi 8 akan bersisa 3.
3) Berapakah sisa 120
dibagi 13?
Jawab:
120 mod 13=(10.13−10) mod 13
=(−10) mod 13
=((−1).13+3) mod 13
=3 mod 13
=3
Jadi, 120 dibagi 13 bersisa 3
Semoga kaidah
dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal
berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
(a+b) mod n=((a mod n)+(b mod n)) mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian (10+17+21) oleh 9?
Jawab:
(10+17+21)
mod 9=(10 mod 9+17 mod 9+21 mod 9) mod 9
=(1+8+3) mod 9
=12 mod 9
=3 mod 9
=3
Jadi (10+17+21) jika dibagi 9 maka akan bersisa 3
2)
Berapakah sisa (2011+2012+2013+⋯+2018) dibagi 2019?
Jawab:
(2011+2012+2013+⋯+2018)
mod 2019
=(−8−7−6−⋯−1) mod 2019
=(−36) mod 2019
=((−1).2019+1983) mod 2019
=1983
Jadi, (2011+2012+2013+⋯+2018) jika dibagi 2019 maka akan bersisa 1983
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
(ab) mod n=((a mod n)(b mod n)) mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian (7×9×10) oleh 8?
Jawab:
(7×9×10)
mod 8=((7 mod 8)(9 mod 8)(10 mod 8)) mod 8
=(7×1×2) mod 8
=14 mod 8
=6
2) Berapakah digit terakhir (satuan) dari (2016×2017×2018×2019)?
Jawab:
Menentukan
digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi
1010
(2016×2017×2018×2019) mod 10
=(6×7×8×9) mod 10
=(42×72) mod 10
=(2×2) mod 10
=4 mod 10
=4
Jadi, digit terakhir dari (2016×2017×2018×2019) adalah 4
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$a^{b}$ mod n=((a mod n)$^{b})$ mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi 8?
1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi 8?
Jawab:
$(7^{2019}$)mod 8
=((7 mod 8)$^{2019}$)mod 8
=$(−1)^{2019}$ mod 8
=(−1) mod 8
=7
Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi 8 maka akan bersisa 7
Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi 8 maka akan bersisa 7
2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh 41?
Jawab:
$3^{2009}$ mod 41
=$(3^{2008}$.3) mod 41
=(($3^{4})^{502}$.3) mod 41
=($81^{502}$.3) mod 41
=($(2.41−1)^{502}$.3) mod 41
=($(−1)^{502}$.3) mod 41
=(1.3) mod 41
=3 mod 41
=3
Jadi, $3^{2009}$ dibagi 41 akan bersisa 3
Jadi, $3^{2009}$ dibagi 41 akan bersisa 3
3) Berapakah sisa $ (54^{54}+55^{55})$ jika dibagi 7?
Jawab:
(54$^{54}$+55$^{55}$) mod 7
=((8.7−2)$^{54}$ mod 7+(8.7−1)$^{55}$ mod 7) mod 7
=((−2)$^{54}$ mod 7+(−1)$^{55}$ mod 7)
=(((−2)$^{3})^{18}$ mod 7+(−1) mod 7) mod 7
=($(−8)^{18}$ mod 7+6) mod 7
=(((−1).7+(−1))$^{18}$ mod 7+6) mod 7
=((−1)$^{1}$ 18 mod 7+6) mod 7
=(1 mod 7+6) mod 7
=(1+6) mod 7
=7 mod 7
=0
Jadi, 5$4^{44}+55^{55}$ jika dibagi 7 tidak bersisa
Operasi pada Kongruensi Modulo
Apa yang akan terjadi jika bentuk a≡b mod ma≡b mod m kita olah dengan
melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas?
anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo
Penjumlahan Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita tambah c, maka berlaku:
(a+c)≡(b+c)
mod m
Contoh:
Jika pada 16≡1 mod 5, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: 19≡4
mod 5
Dapat kita lihat untuk pernyataan 19≡4 mod 5 bernilai benar,
karena 19=3×5+4 (19 bersisa 4 jika dibagi 5)
Pengurangan Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kurangi c, maka berlaku:
(a−c)≡(b−c)
mod m
Contoh:
Jika bentuk 23≡7 mod 8, kedua ruas kita kurangi 5, maka kita peroleh:
18≡2 mod 8
Dapat kita lihat untuk pernyataan 18≡2 mod 8 bernilai benar, karena
18=2×8+2
Perkalian Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kali c, maka berlaku:
(ac)≡(bc) mod m
Pembagian Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita bagi c, maka berlaku:
a≡b mod$\frac{m}{FPB(m,c)}$
Demikianlah semoga bermanfaat.
🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
📚 "Memahami Modulo", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei
