Pembuktian Teorema Pythagoras
Siapa yang belum mendengar “Teorema Pythagoras”? sejak di sekolah dasar kita telah diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada segitiga siku-siku tersebut.
Sebagai tambahan wawasan dan pengetahuan bagi para guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai sejarah teorema Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid. Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga siku-siku
belum mereka ketahui.
Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer. Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut siku-siku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
b2 – 2ab + a2 +
2ab = c2
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD
sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ... (1)
= ½ cx +
½ cy
= ½ c (x + y)
= ½ c.c
= ½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi
dengan c. Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti
pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga
sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di
samping. Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah
tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing
oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku
akan diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003)
= SRBC
...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
ADEP = KNDA.....
kedua bangun konruen
= UTCA
...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU
= b2
= a2 + b2
Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas ADEFGC – 2. Luas
ABC = luas
ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas
BCGF = luas
ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC
seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar
dengan luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas
KMNPQR = luas
KSQR + luas MNP
= a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah
kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan
sisi c, sehingga luasnya c2.
(Sumardyono, 2003)
14. Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat
membuktikannya secara aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan
generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah
titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas <CAB’ tumpul dan untuk gambar bawah < CAB’ lancip). Dengan demikian tampak bahwa segitiga ABC,
segitiga CBA’ dan segitiga ACB’ saling sebangun.
Kesebangunan ini mengakibatkan:
AC/BA = A’B/CB (pandang segitiga CBA’ dan ABC )
AC/AB = AB’/AC (pandang segitiga ACB’ dan ABC)
Sehingga akan diperoleh BC2 + AC2 =
AB(A’B + AB’)
Apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras
terpenuhi.
16. Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu
generalisasi. Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang
CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian
panjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM
sejajar dan sama panjang dengan HC. Maka:
Luas
CADE = luas
CAUH = luas
SLAR
Luas
CBFG = luas
CBVH = luas
SMBR
---------------------------------------------------------------------------
+
Luas CADE + luas
CBFG = luas
ABML
Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C)
serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka akan
diperoleh Teorema Pythagoras.
17. Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c.
Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap
sisi-sisinyasehinggaakan tampak seperti gambar berikut.
Dari gambar di atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi
miring sama dengan jumlah segitiga sama sisi lainnya.
Untuk segitiga dengan panjang sisi k, l,
dan m maka luas segitiga tersebut adalah
18. Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c seperti gambar
berikut.
Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan
cosinus sudut Σ¨ yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita
ketahui bahwa
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita
ketahui bahwa.
19. Pembuktian denan Persamaan Differensial
Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi
dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak
lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.
oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut
harus sama, yaitu:
Dapat ditulis sebagai berikut
Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c.
Artiya a = c. Maka konstanta = c2 =
a2 sehingga c2 = b2 + a2 terbukti.
20. Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun
berdampingan seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu
a2 + b2.
Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian rupa
sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi
miring.
Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yaitu
samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar
berikut.
Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas
c2.
21. Pembuktian John Kawamura
Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis,
guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.
Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama
dengan c2/2 sehingga
c2/2 = Luas bangun ABCD
=
Luas BCD + Luas ABD
= a.a/2 + b.b/2
c2 = a2 +
b2 terbukti
22. Pembuktian Tao Tong
ABC dan BED dua buah segitiga yang kongruen. E pada AB.
Luas ABD = BD.AF/2 = DE.AB/2
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
(c-x)/2 = b.b/2.x = CF (diperoleh dari kesamaan BD dan AC pada
segitiga BFC dan ABC).
x = a2/2
23. Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
y/b = b’/c, x/a = a’/c + cx = aa’ + bb’
maka cc’ = aa’ + bb’
24. Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen
Pembuktianini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.
Kuas dari trapesium tersebut adalah
(2a+2b)/2.(a+b)
Di lain pihak
2.a.b/2 + 2b.a/2 + 2.c2/2
Dari dua persamaan tersebut diperoleh:
a2 + b2 = c2
25. Pembuktian dari weininjieda dari Cina
Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB.
Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB = c.
AC tegak lurus dengan BD
BE tegak lurus dengan AD, dan
ED tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh
Luas segitiga ABD = Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas segitiga
BCE
Akan diperoleh persmaan
c(c+EF) = EF. C + b2 + a2
yang bentuk sederhananya
c2 = b2 + a2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara
akan diperoleh:
akan diperoleh:
(a + b) = c2 + 4. ½ ab
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab
a2 + b2 = c2
3. Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4 x luas
ABQ = luas ABCD
ABQ = luas ABCD
(b – a)2 + 4 x ½
. ab = c2
. ab = c2
b2 – 2ab + a2 +
2ab = c2
a2 + b2 = c2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah
trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema
Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema
Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas
trapesium = (alas+ atas)/2.
tinggi = (a + b)/2.
(a + b)
trapesium = (alas+ atas)/2.
tinggi = (a + b)/2.
(a + b)
Di lain pihak, luas trapesium = 2.½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2.
(a + b) = 2.
½ ab + ½ c2
(a + b) = 2.
½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian
Baskhara yang Kedua)
Baskhara yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD
sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ... (1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD
sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ... (2)
sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
6. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh
900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat
rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga
ABC.
900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat
rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga
ABC.
½ a2 = (1)
½ b2 = (2) +
(3)
(3)
------------------------------------ +
½ a2 + ½ b2 = (1)
+ (2) + (3)
+ (2) + (3)
= [(1)
+ (2)] + (3)
+ (2)] + (3)
= ½ cx +
½ cy
= ½ c (x + y)
= ½ c.c
= ½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
7. Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi
dengan c. Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti
pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga
sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di
samping. Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan publikasi, seperti
oleh Birkhoff.
oleh Birkhoff.
8. Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan
luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun
datar).
luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun
datar).
9. Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2 + b2 + 2. ½ . ab
Luas daerah gambar akhir = c2 + 2. ½. Ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah
tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing
oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku
akan diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003)
10. Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong,
dan memutar.
dan memutar.
(Sumardyono, 2004)
11. Bukti dari Euclid
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan gambar
di bawah ini.
di bawah ini.
DBQE = NLBD..... kedua bangun kongruen
= MLBC......
alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD
alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD
= SRBC
...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
= a2
ADEP = KNDA.....
kedua bangun konruen
= KMCA
..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD
..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD
= UTCA
...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU
= b2
c2 = BDQE + ADEP
= a2 + b2
12. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan
ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas
ADEFGC = luas ABCJHI
ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC,
sehingga:
sehingga:
Luas ADEFGC – 2. Luas
ABC = luas
ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas
BCGF = luas
ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC
seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar
dengan luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas
KMNPQR = luas
KSQR + luas MNP
= a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah
kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan
sisi c, sehingga luasnya c2.
(Sumardyono, 2003)
14. Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat
membuktikannya secara aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan
generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah
titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas <CAB’ tumpul dan untuk gambar bawah < CAB’ lancip). Dengan demikian tampak bahwa segitiga ABC,
segitiga CBA’ dan segitiga ACB’ saling sebangun.
Kesebangunan ini mengakibatkan:
AC/BA = A’B/CB (pandang segitiga CBA’ dan ABC )
AC/AB = AB’/AC (pandang segitiga ACB’ dan ABC)
Sehingga akan diperoleh BC2 + AC2 =
AB(A’B + AB’)
Apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras
terpenuhi.
16. Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu
generalisasi. Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang
CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian
panjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM
sejajar dan sama panjang dengan HC. Maka:
Luas
CADE = luas
CAUH = luas
SLAR
Luas
CBFG = luas
CBVH = luas
SMBR
---------------------------------------------------------------------------
+
Luas CADE + luas
CBFG = luas
ABML
Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C)
serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka akan
diperoleh Teorema Pythagoras.
17. Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c.
Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap
sisi-sisinyasehinggaakan tampak seperti gambar berikut.
Dari gambar di atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi
miring sama dengan jumlah segitiga sama sisi lainnya.
Untuk segitiga dengan panjang sisi k, l,
dan m maka luas segitiga tersebut adalah
18. Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c seperti gambar
berikut.
Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan
cosinus sudut Σ¨ yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita
ketahui bahwa
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita
ketahui bahwa.
19. Pembuktian denan Persamaan Differensial
Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi
dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak
lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.
oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut
harus sama, yaitu:
Dapat ditulis sebagai berikut
Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c.
Artiya a = c. Maka konstanta = c2 =
a2 sehingga c2 = b2 + a2 terbukti.
20. Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun
berdampingan seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu
a2 + b2.
Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian rupa
sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi
miring.
Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yaitu
samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar
berikut.
Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas
c2.
21. Pembuktian John Kawamura
Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis,
guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.
Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama
dengan c2/2 sehingga
c2/2 = Luas bangun ABCD
=
Luas BCD + Luas ABD
= a.a/2 + b.b/2
c2 = a2 +
b2 terbukti
22. Pembuktian Tao Tong
ABC dan BED dua buah segitiga yang kongruen. E pada AB.
Luas ABD = BD.AF/2 = DE.AB/2
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
(c-x)/2 = b.b/2.x = CF (diperoleh dari kesamaan BD dan AC pada
segitiga BFC dan ABC).
x = a2/2
23. Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
y/b = b’/c, x/a = a’/c + cx = aa’ + bb’
maka cc’ = aa’ + bb’
24. Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen
Pembuktianini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.
Kuas dari trapesium tersebut adalah
(2a+2b)/2.(a+b)
Di lain pihak
2.a.b/2 + 2b.a/2 + 2.c2/2
Dari dua persamaan tersebut diperoleh:
a2 + b2 = c2
25. Pembuktian dari weininjieda dari Cina
Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB.
Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB = c.
AC tegak lurus dengan BD
BE tegak lurus dengan AD, dan
ED tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh
Luas segitiga ABD = Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas segitiga
BCE
Akan diperoleh persmaan
c(c+EF) = EF. C + b2 + a2
yang bentuk sederhananya
c2 = b2 + a2
π―Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
π "Pembuktian Teorema Pythagoras", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." π- Galileo Galilei
