Operasi dan Sifat-sifat Bilangan OSN-M SMP

Pada artikel ini kita akan membahas tentang
Operasi dan Sifat-sifat Bilangan OSN-M SMP yang disertai dengan contoh
soal dan pembahasan beberapa soal lainnya untuk mendukung pemahaman materinya
yang lebih mendalam. Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP ini adalah
salah satu materi paling mendasar yang harus dipahami.

A. Jenis-jenis bilangan

        Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika
yang digunakan untuk penghitungan (pencacahan dan pengukuran).

 
a. Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif)

Bilangan Asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang dimulai dari 1.


Bilangan Asli : $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... }$


b. Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) dan 0
(nol).

Bilangan Cacah : $C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....}$


c. Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Bulat Negatif adalah himpunan bilangan bulat yang nilainya lebih
kecil dari 0 (sebelah kiri nol).

Bilangan Bulat negatif : $\{.... ,-6, -5, -4, -3, -2, -1\}$


d. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang bukan berbentuk pecahan yang
terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

Bilangan bulat : B = $\{ ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $


e. Bilangan Ganjil

Bilangan Ganjil adalah himpunan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2.


Contoh : ${1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ....}$


f. Bilangan Genap

Bilangan Genap adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi $2$.

Contoh : ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ....}$


g. Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki faktor
pembagi 1 dan bilangan itu sendiri (hanya memiliki dua faktor).

Bilangan prima: ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}$


h. Bilangan Komposit

Bilangan Komposit adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki
faktor pembagi tidak hanya 1 dan bilangan itu sendiri (memiliki lebih dari
dua faktor).

Contoh bilangan komposit : ${4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ....}$


i. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk $
\frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat serta $ b \neq 0
$.

Contoh bilangan rasional : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8} ,
\frac{9}{2},$ dan lain-lain

j. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat diubah menjadi bentuk $
\frac{a}{b} $ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat serta $ b \neq 0
$. Bilangan irrasional merupakan kebalikan dari bilangan rasional.

Contoh bilangan irrasional : $ \sqrt{2} , \sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan
lain-lain

k. Bilangan Real

Bilangan Real adalah himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Contoh Bilangan real : $ -1, 3, 0, \frac{1}{5} , \frac{3}{8}, \sqrt{2} ,
\sqrt{5} , \sqrt{7}, $ dan lain-lain

l. Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah himpunan bilangan yang berbentuk $ i = \sqrt{-1} $.


Contoh : $ 2\sqrt{-1}=2i , -5i, \frac{1}{5}i , \sqrt{2}i,$ dan lain-lain


m. Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah himpunan bilangan real dan bilangan imajiner.


Contoh : $3-i, 1+2i , 5i+\frac{1}{5} ,$ dan lain-lain

B. Operasi Bilangan👈

       Untuk semua jenis bilangan, ada
beberapa operasi yang bisa diterapkan yaitu penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian.

Sifat-sifat bilangan ganjil dan genap :

ganjil + ganjil = genap ,

genap + genap = genap ,

ganjil + genap = ganjil ,

genap + ganjil = ganjil ,

ganjil $ - $ ganjil = genap ,

genap $ - $ genap = genap ,

ganjil $ - $ genap = ganjil ,

genap $ - $ ganjil = ganjil ,

ganjil $ \times $ ganjil = ganjil ,

genap $ \times $ genap = genap,

ganjil $ \times $ genap = genap ,

genap $ \times $ ganjil = genap.

C. Sifat-sifat operasi bilangan

       Berikut beberapa sifat-sifat operasi
bilangan:

(1). sifat komutatif (pertukaran)

       $a+b=b+a$ dan $a \times b=b \times a$


(2). sifat asosiatif (pengelompokkan)

       $ (a+b)+c=a+(b+c) $

       $(a\times b)\times c=a\times (b\times c) $


(3). sifat distributif (penyebaran)

       $a(b+c)=a\times b+a\times c$

       $a(b-c)=a\times b-a\times c $

(4). sifat identitas (nol dan satu)

       $ a+0=0+a=a $

       $ a\times 1=1\times a=a $

(5). sifat invers

       $a+(-a)=(-a)+a=0 $

       $ a\times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times
a=1, \, a\neq0$ (bilangan non bulat)

D). Sifat urutan bilangan bulat

       Beberapa sifat urutan pada bilangan
bulat yang harus dipahami.

(1). Untuk setiap dua bilangan bulat $a$ dan $b$, berlaku satu dan hanya satu
dari berikut:

       $a < b, \, a=b$, atau $a>b$

(2). Jika $a$ dan $b$ bilangan bulat maka $a \pm b$ juga merupakan bilangan
bulat

(3). Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat maka $a \times b $ juga merupakan
bilangan bulat

(4). Jika $a < b$ dan $c>0$ maka berlaku:

       (i). $a+c < b+c$

       (ii). $ a - c < b - c $

       (iii). $ a\times c < b \times c $

(5). Jika $a < b$ dan $ c < d $ maka $ a+c < b+d$

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang
berkaitan dengan materi
Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan
dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian
untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan
mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:

Jika $a, b, $ dan $c$ adalah bilangan prima dan memenuhi $c=17(b-a)$, berapakah
nilai $a+b+c$?

Contoh 2:

Bilangan $x, y,$ dan $z$ adalah tiga bilangan genap berurutan dengan $x < y
< z$. Jika $ a =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)}$, maka nilai $a$ yang memenuhi
adalah ...?



Contoh 3:

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat. Buktikan :

a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!

b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!


Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:

Jika $a, b, $ dan $c$ adalah bilangan prima dan memenuhi $c=17(b-a)$, berapakah
nilai $a+b+c$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Bilangan Prima adalah himpunan bilangan bulat positif yang memiliki
faktor pembagi 1 dan bilangan itu sendiri (hanya memiliki dua faktor).


bilangan prima: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}



$\clubsuit $ Pembahasan

*). karena $ c $ bilangan prima dan $c=17(b-a)$, maka haruslah $ b - a = 1
$, sehingga $ c = 17 \times 1 = 17 $.

*). untuk $ b - a = 1 $ , hanya terpenuhi saat $ b = 3 $ dan $ a = 2 $.


Nilai $ a + b + c = 2 + 3 + 17 = 22 $

Jadi, nilai $ a + b + c = 22 . \, \heartsuit $

Contoh 2:

Bilangan $x, y,$ dan $z$ adalah tiga bilangan genap berurutan dengan $x < y
< z$. 

Jika $ a =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)}$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah
...?

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Bilangan genap berurutan selalu memiliki selisih 2 antara dua
bilangan berdekatan. Misalkan bilangan awalnya adalah $ a $, maka
bilangan genap berurutan bisa kita tulis sebagai:

$ a, a+2, a+4, a+6, .... $

dengan $ a $ merupakan bilangan genap.



$\clubsuit $ Pembahasan

*). Misalkan bilangan genap $ x, y, z $ yaitu:

$x = a, y= a+2, z = a+4 $.

Sehingga:

$ z - x = (a + 4) - (a) = 4 $

$ y - x = (a+2) - (a) = 2 $

$ z - y = (a+4) - (a+2) = 2 $


*). Menentukan nilai $ a $ :

$ \begin{align} a & =\frac{(z-x)(y-x)}{(z-y)} \\ & = \frac{4
\times 2}{2} \\ & = 4 \end{align} $


Jadi, nilai $ a = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 3:

Misalkan $m$ adalah bilangan bulat. Buktikan :

a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!

b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Setiap $ m $ bilangan bulat genap maka terdapat bilangan asli $ n $
sehingga $ m = 2n $.

*). Setiap $ m $ bilangan bulat ganjil maka terdapat bilangan asli $ n $
sehingga $ m = 2n - 1 $.



$\clubsuit $ Pembahasan



a). jika $m$ genap, maka $m^2$ genap!

*). $ m $ genap, sehingga dapat dinyatakan $ m = 2n $ dengan $ n $
bilangan asli.

*). Menentukan bentuk $ m^2 $ :

Misalkan $ k = 2n^2 $,

$ \begin{align} m^2 & = (2n)^2 \\ & = 4n^2 \\ & = 2 \times (
2n^2 ) \\ & = 2k \end{align} $

Karena $ m^2 $ dapat dinyatakan sebagai $ 2k $, ini artinya $ m^2 $
adalah bilangan genap.

Jadi, terbukti bahwa $ m^2 $ adalah genap $ . \, \heartsuit $




b). jika $m$ ganjil, maka $m^2$ ganjil!

*). $ m $ ganjil, sehingga dapat dinyatakan $ m = 2n - 1 $ dengan $ n $
bilangan asli.

*). Menentukan bentuk $ m^2 $ :

Misalkan $ p = 2n^2 - 2n + 1 $,

$ \begin{align} m^2 & = (2n-1)^2 \\ & = 4n^2 - 4n + 1 \\ & =
(4n^2 - 4n + 1) + 1 - 1 \\ & = (4n^2 - 4n + 1 + 1) - 1 \\ & =
(4n^2 - 4n + 2) - 1 \\ & = 2(2n^2 - 2n + 1) - 1 \\ & = 2 p - 1
\end{align} $

Karena $ m^2 $ dapat dinyatakan sebagai $ 2p - 1 $, ini artinya $ m^2 $
adalah bilangan ganjil.

Jadi, terbukti bahwa $ m^2 $ adalah ganjil $ . \, \heartsuit $

Soal-Soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang
berkaitan dengan materi
Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan
dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

Soal 1
Hitunglah selisih jumlah semua bilangan genap terhadap jumlah semua bilangan ganjil dari 1 sampai 2022?

 
Soal 2
A tree is 89 meter tall. The depth of a well is 165 meter below the ground
level. Find the distance a part from the bottom of the well to the top of the
tree?

 
Soal 3
Pada tes Kimia, skor untuk jawaban benar adalah 2, jawaban salah adalah $
-1$, dan yang tidak menjawab adalah 0. Budi menjawab benar 29 soal dan tidak
menjawab 5 soal. Budi memperoleh skor 52. Berapa banyak soal yang diujikan
pada tes Kimia tersebut?

 
Soal 4
Diberikan angka 1 sampai 9. Isikan setiap kotak dengan angka berbeda agar
ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Soal 5
Isilah persegi ajaib di bawah ini dengan menggunakan bilangan 4, 8, 12,
16, 20, 24, 28, 32, dan 36 sehingga jumlah setiap kolom, baris, dan diagonal
adalah sama.

Soal 6
Dalam penjumlahan di bawah ini. $a, b, c, d, e,$ dan $f$ merupakan
angka-angka tunggal yang tidak sama yang memenuhi $\overline{abc}+
\overline{def} = 1.812$. Tentukan nilai terbesar dari $(a+b+c+d+e+f)$?

 

Soal 7
Wati merahasiakan 3 buah bilangan. Kemudian, ia menjumlahkan setiap 2
bilangan dan hasilnya sama dengan 15, 17, dan 20. Temukan ketiga bilangan
tersebut?

 
Soal 8
Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:

$2022 + 2022 + 2022 + .... $ sebanyak 2024 buah bilangan 2022.

 
Soal 9


9). Tentukan nilai dari:

$ 2022 \times 20232023 - 2023 \times 20222022$

 
Soal 10


10). Tentukan semua bilangan $n$ sehingga $n$ dan $\frac{n+3}{n-1} $ keduanya
merupakan bilangan bulat!

 
Soal 11
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang
merupakan solusi dari persamaan $ \frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1 $

 
Soal 12
Tentukan semua bilangan bulat positif $m, n $ dengan $n$ bilangan ganjil
yang memenuhi $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} = \frac{1}{12} $

 
Soal 13
Untuk semua bilangan bulat positif, didefinisikan $x^*$ sebagai
penjumlahan bilangan bulat dari 1 sampai $x$. Nilai dari $2023^* - 2022^* $
adalah ...?

 

Soal 14
Tentukan bilangan bulat $n$ terkecil sehingga jumlah dari lima bilangan
bulat ganjil berurutan dimulai dari $n$ menghasilkan bilangan prima!

 

Soal 15
Tentukan angka satuan dari hasil penjumlahan:

$2076 + 2076^2 + 2076^3 + 2076^4 + .... + 2076^{2021} + 2076^{2022} $.




Solusi Soal Latihan Operasi dan Sifat-sifat Bilangan Olim
SMP.

(Masih dalam proses penyusunan).