Materi Peluang dan Soal Pembahasan
Teori peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan
terjadinya suatu kejadian atau peristiwa. Teori peluang mengembangkan model
matematika yang digunakan untuk mengukur kemungkinan suatu kejadian terjadi
dalam situasi yang berbeda-beda.
Dalam teori peluang, suatu peristiwa dinyatakan dalam istilah probabilitas,
yang mengindikasikan kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut. Probabilitas
biasanya diukur dalam skala 0 hingga 1, di mana 0 menunjukkan bahwa suatu
peristiwa tidak mungkin terjadi sedangkan 1 menunjukkan bahwa suatu
peristiwa pasti terjadi.
Teori peluang memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk ilmu
sosial, keuangan, fisika, dan teknik. Dalam kehidupan sehari-hari, teori
peluang digunakan untuk memprediksi kemungkinan terjadinya suatu peristiwa
tertentu, seperti cuaca, kemenangan dalam permainan, dan risiko kesehatan.
Dalam matematika, peluang atau probabilitas adalah ukuran
kuantitatif dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Peluang
dinyatakan dalam skala dari 0 hingga 1, di mana 0 berarti peristiwa
tersebut mustahil terjadi, dan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.
Untuk menghitung peluang, terlebih dahulu kita harus mengetahui jumlah
kemungkinan yang ada, atau yang sering disebut sebagai ruang sampel.
Kemudian, kita bisa menggunakan rumus-rumus matematika untuk menghitung
peluang suatu peristiwa terjadi, seperti:
Peluang suatu peristiwa = $ \frac{Jumlah~ kemungkinan~ yang ~diinginkan}{
Jumlah~ total~ kemungkinan }$
Contohnya, jika kita melempar sebuah dadu enam sisi, ruang sampelnya
adalah angka 1-6. Jika kita ingin mencari peluang munculnya angka genap,
maka jumlah kemungkinan yang diinginkan adalah 3 (2, 4, dan 6), dan jumlah
total kemungkinan adalah 6. Sehingga peluang munculnya angka genap adalah
$\frac{3}{6}$ atau $\frac{1}{2}$
Peluang juga bisa dihitung menggunakan metode-metode statistik yang lebih
kompleks, seperti distribusi normal, distribusi Poisson, dan distribusi
binomial. Peluang juga memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang,
seperti keuangan, ilmu sosial, fisika, dan lain-lain.
a. Ruang Sampel
Ruang sampel (S) adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin.
Contoh: Ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu $$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$
b. Peluang Suatu Kejadian
Peluang adalah nilai kemungkinan yang terjadi antara perbandingan banyaknya
suatu kejadian dengan banyaknya seluruh kejadian.
$$ P(A)=\frac{n(A)}{n(S)} $$ $P(A)=$
nilai peluang munculnya kejadian $A$ $n(A)=$ banyaknya kejadian $A$ $n(S)=$
banyaknya anggota ruang sampel Contoh: Dalam sebuah kotak terdapat 3 buah bola
berwarna merah dan 6 bola berwarna hijau. Tentukan peluang terambilnya bola
berwarna merah. Jawab: $$ \mathrm{n}(\mathrm{S})=3+6=9 $$ $A=$ kejadian
terambilnya bola berwarna merah $$ n(A)=3 $$ $$
P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $$
c. Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya nilai yang muncul
dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.
$$\mathrm{F}_{\mathrm{r}}=\frac{\text { banyaknya kemunculan }}{\text {
banyaknya percobaan }}$$
Contoh: Sebuah uang logam dilempar sebanyak 8 kali. Munculnya sisi angka
sebanyak 3 kali. Tentukan frekuensi relatif munculnya sisi angka.
Jawab: Banyak percobaan $=8$ Banyak kemunculan angka $=3$
$$F_r=\frac{3}{8}=0,375$$
Jadi, frekuensi relatif munculnya sisi angka dari 8 kali pelemparan adalah 0,375
Jadi, frekuensi relatif munculnya sisi angka dari 8 kali pelemparan adalah 0,375
d. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu
kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan. $\mathrm{F}_{\mathrm{h}}=$
peluang $\times$ banyaknya percobaan $$=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times
\mathrm{N}$$ Contoh: Sebuah dadu dilempar sebanyak 30 kali. Tentukan frekuensi
harapan munculnya mata dadu bernomor ganjil. Jawab: $A=$ kejadian munculnya
mata dadu ganjil $=\{1,3,5\}$ $$ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$ Banyak
percobaan $=30$ kali $$ \begin{aligned} F_h & =\text { peluang } \times
\text { banyak percobaan } \\ & =P(A) \times 30 \\ & =\frac{1}{2}
\times 30 \\ & =15 \end{aligned} $$
Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu ganjil dari 30 kali percobaan
pelemparan adalah 15 kali.
e. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat
terjadi secara bersamaan. $P(A$ atau $B)=P(A)+P(B)$ $P(A)=$ peluang kejadian
$A$ $P(B)=$ peluang kejadian $B$
Contoh: Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul angka 2 atau angka
6 ?
Jawab: $$ \begin{aligned} P(A)=P(2) & =\frac{1}{6} \\ P(B)=P(6) & =\frac{1}{6} \\ P(2 \text { atau } 6) & =P(2)+P(6) \\ & =\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \\ & =\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$ f. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas
Jawab: $$ \begin{aligned} P(A)=P(2) & =\frac{1}{6} \\ P(B)=P(6) & =\frac{1}{6} \\ P(2 \text { atau } 6) & =P(2)+P(6) \\ & =\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \\ & =\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$ f. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian misal kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A
tidak memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. $$ P(A \text { dan
} B)=P(A) \times P(B) $$
Contoh: Pada pelemparan dua buah dadu, berapakah peluang munculnya mata dadu 1
pada dadu pertama dan mata dadu 3 pada mata dadu kedua?
Jawab: $$ \begin{aligned} & P(1)=\frac{1}{6} \\ & P(3)=\frac{1}{6} \\ & P(1 \text { dan } 3)=P(1) \times P(3) \\ &=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ &=\frac{1}{36} \end{aligned} $$
Jawab: $$ \begin{aligned} & P(1)=\frac{1}{6} \\ & P(3)=\frac{1}{6} \\ & P(1 \text { dan } 3)=P(1) \times P(3) \\ &=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ &=\frac{1}{36} \end{aligned} $$
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nilai rata-rata dari seluruh data disebut ....
A. mean
B. median
C. modus
D. kuartil
Jawaban: A
A. mean
B. median
C. modus
D. kuartil
Jawaban: A
Nilai rata-rata atau rataan hitung dari keseluruhan data adalah
mean.
2. Sebuah hama menjangkiti $85 \%$ buah mangga yang baru dipanen ayah. Para peneliti mengambil sampel $2,5\%$ dari buah mangga yang terserang hama. Jumlah seluruh mangga 6 ton. Sampel buah mangga yang diambil sebanyak ....
A. $510 \mathrm{~kg}$
B. $427,5 \mathrm{~kg}$
C. $135,7 \mathrm{~kg}$
D. $127,5 \mathrm{~kg}$
Jawaban: D
Jumlah seluruh mangga $=6$ ton $=6.000 \mathrm{~kg}$
Populasi seluruh mangga yang terserang hama, $85 \% \times 6.000=5.100
\mathrm{~kg}$
Sampel mangga yang diambil $2,5\%$ dari populasi, $2,5 \% \times 5.100
\mathrm{~kg}=127,5\mathrm{~kg}$
3. Berikut nilai ulangan matematika beberapa siswa kelas VIII.
8 8 7 6 7 9 5 7 7 9 8 6 6 5 7
Nilai rata-rata ulangan harian tersebut adalah ....
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Jawaban: $B$
8 8 7 6 7 9 5 7 7 9 8 6 6 5 7
Nilai rata-rata ulangan harian tersebut adalah ....
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Jawaban: $B$
Jumlah data =8+8+7+6+7+9+5+7+7+9+8+6+6+5+7=105
Banyaknya data $=15$
Rata-rata $=\frac{105}{15}=7$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika beberapa siswa kelas VIII adalah 7.
Rata-rata $=\frac{105}{15}=7$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika beberapa siswa kelas VIII adalah 7.
4. Median dari data di bawah ini adalah ....
$~~~~~~~~~~22~~ 24~~ 23~~ 24~~ 25~~ 26~~ 21~~ 27~~ 29~~ 31~~ 30~~ 32~~ 29~~ 29$
A. 25
B. 26
C. 26,5
D. 27
Jawaban: C
Setelah diurutkan data di atas menjadi:
$$ 21~ 22~ 23~ 24~ 24~ 25~ 26~ 27~ 29~ 29~ 29~ 30~ 31~ 32 $$
Banyaknya data adalah 14, maka mediannya adalah data ke-7 dan data ke-8 dibagi 2.
Median $=\frac{26+27}{2}=\frac{53}{2}=26,5$
Jadi, median atau nilai tengah dari data di atas adalah 26,5 .
Tabel berikut untuk menjawab soal nomor 5 s.d. 9.
Tabel Berat Badan Siswa Kelas VIII
|
Berat Badan (kg) |
Banyak Siswa (Frekuensi) |
|
38 |
12 |
|
39 |
5 |
|
40 |
8 |
|
41 |
14 |
|
42 |
10 |
|
43 |
15 |
|
44 |
7 |
|
45 |
9 |
A. 100 siswa
B. 90 siswa
C. 85 siswa
D. 80 siswa
Jawaban: D
Banyak siswa:
$$
12+5+8+14+10+15+7+9=80
$$
Jadi, seluruh siswa kelas VIII berjumlah 80 siswa.
C. 85 siswa
D. 80 siswa
Jawaban: D
Banyak siswa:
$$
12+5+8+14+10+15+7+9=80
$$
Jadi, seluruh siswa kelas VIII berjumlah 80 siswa.
6. Siswa yang memiliki berat badan kurang dari $40~~kg$ sebanyak .....
A. 25 siswa
B. 21 siswa
C. 17 siswa
D. 8 siswa
Jawaban: $C$
Dari tabel dapat dilihat bahwa berat badan siswa yang kurang dari $40 \mathrm{~kg}$ adalah $38 \mathrm{~kg}$ dan $39 \mathrm{~kg}$. Siswa yang berat badannya 38 kg ada 12 siswa dan yang berat badannya $39 \mathrm{~kg}$ ada 5 siswa. Sehingga siswa yang berat badannya kurang dari $40 \mathrm{~kg}=12+5=17$ siswa.
C. 17 siswa
D. 8 siswa
Jawaban: $C$
Dari tabel dapat dilihat bahwa berat badan siswa yang kurang dari $40 \mathrm{~kg}$ adalah $38 \mathrm{~kg}$ dan $39 \mathrm{~kg}$. Siswa yang berat badannya 38 kg ada 12 siswa dan yang berat badannya $39 \mathrm{~kg}$ ada 5 siswa. Sehingga siswa yang berat badannya kurang dari $40 \mathrm{~kg}=12+5=17$ siswa.
7. Modus dari data berat badan siswa kelas VIII adalah ....
A. $40 \mathrm{~kg}$
B. $41 \mathrm{~kg}$
C. $43 \mathrm{~kg}$
D. $44 \mathrm{~kg}$
Jawaban: C
Modus adalah data yang paling sering muncul.
Pada tabel data berat badan siswa kelas VIII, data yang paling sering muncul
dapat dilihat dari banyaknya siswa atau frekuensi terbesar, yaitu siswa
dengan berat badan $43 \mathrm{~kg}$ sebanyak 15 siswa.
8. Median dari data berat badan siswa kelas IX adalah ....
A. $41 \mathrm{~kg}$
B. $42 \mathrm{~kg}$
C. $43 \mathrm{~kg}$
D. $44 \mathrm{~kg}$
Jawaban: B
Median merupakan nilai tengah dari data yang sudah terurut. Pada tabel di
atas data berat badan sudah terurut dari yang terkecil ke terbesar, karena
datanya genap berarti median terletak di antara data ke
$\frac{\mathrm{n}}{2}$ dan $\frac{\mathrm{n}}{2}+1=$ data ke 40 dan 41 .
Data ke 40 bisa dihitung dari banyak siswa ke-40 pada frekuensi karena data
sudah terurut. Data ke- 40 dan ke- 41 terletak pada data berat badan siswa
$42 \mathrm{~kg}$, sehingga mediannya adalah $42 \mathrm{~kg}$.
9. Selisih berat badan siswa yang terberat dan teringan adalah ....
A. $7 \mathrm{~kg}$
B. $8 \mathrm{~kg}$
C. $9 \mathrm{~kg}$
D. $10 \mathrm{~kg}$
Jawaban: A
Berat badan terberat $=45 \mathrm{~kg}$
Berat badan teringan $=38 \mathrm{~kg}$
Selisih berat badan terberat dan teringan adalah $45-38=7 \mathrm{~kg}$.
10. Peluang terambilnya kelereng merahjika pada sebuah kotak terdapat 6
kelereng biru, 4 kelereng merah, dan 6 kelereng hijau adalah ....
A. $\frac{4}{6}$
B. $\frac{6}{10}$
C. $\frac{4}{12}$
D. $\frac{1}{4}$
Jawaban: D
Banyaknya kejadian yang mungkin $=P(S)=6+4+6=16$
Banyaknya kelereng merah $=4$
Peluang terambilnya kelereng merah $=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
11. Perhatikan diagram di bawah ini!
Data di atas diambil dari sekelompok siswa yang berjumlah 210 dengan
berbagai kegiatan ekstrakurikuler yang diikuti. Banyaknya siswa yang
mengikuti kegiatan futsal adalah ....
A. 58 siswa
B. 63 siswa
C. 86 siswa
D. 120 siswa
Jawaban: B
Jumlah seluruh siswa $=210$ anak
Persentase ekstrakurikuler futsal $=100 \%-(24 \%+9 \%+37 \%)=30 \%$
Banyak siswa yang mengikuti kegiatan futsal $=\frac{30 \%}{100 \%} \times
210=63$ siswa.
Tabel berikut untuk menjawab soal nomor 12 s.d. 14
|
Nilai |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
|
Banyak siswa |
7 |
12 |
8 |
11 |
9 |
3 |
12. Nilai rata-rata dari data di atas adalah ....
A. 60
B. 62,4
C. 70
D. 72,4
Jawaban: B
Jumlah data $=(40 \times 7)+(50 \times 12)+(60 \times 8)+(70 \times 11)+(80
\times 9)+$ $(90 \times 3)$ $=280+600+480+770+720+270$ $=3.120$
Banyaknya data $=7+12+8+11+9+3=50$
Rata-rata $=\frac{3.120}{50}=62,4$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematikanya adalah 62,4 .
13. Median dari data pada tabel di atas adalah ....
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
Jawaban: B
Median merupakan nilai tengah dari data yang sudah terurut. Pada tabel di
atas data nilai ulangan matematika sudah terurut dari yang terkecil ke
terbesar, karena datanya genap berarti median terletak di antara data ke
$\frac{\mathrm{n}}{2}$ dan $\frac{\mathrm{n}}{2}+1=$ data ke 25 dan 26 .
Data ke 25 bisa dihitung dari banyak siswa ke-25 pada frekuensi karena data
sudah terurut. Data ke-25 dan ke-26 terletak pada data nilai ulangan
matematika 60, sehingga mediannya adalah $\boxed{60}$
14. Modus data ulangan matematika pada tabel di atas adalah ....
A. 50
C. 70
B. 60
D. 80
Jawaban: A
Modus adalah data yang paling sering muncul.
Pada tabel data nilai ulangan matematika, data yang paling sering muncul
dapat dilihat dari banyaknya siswa atau frekuensi terbesar, yaitu siswa
dengan nilai ulangan 50 sebanyak 12 siswa.
15. Nilai rataan dari 5 kali ulangan matematika yang diikuti Adi 80 . Jika
ditambahkan nilai ulangan matematika yang baru, nilai rataan Adi menjadi 82
, maka nilai ulangan matematika Adi yang baru adalah ....
A. 90
B. 92
C. 94
D. 96
Jawaban: B
Rata-rata awal $=\bar{x}_1=80$$n_1=5$
$n_2=1$
Rata-rata akhir $=\bar{x}_{\text {gabungan }}=82$
$$ \begin{aligned} \bar{x}_{\text {gabungan }}&=\frac{\bar{x}_1 \cdot n_1+\bar{x}_2 \cdot n_2}{n_1+n_2} \\ 82&=\frac{80.5+\bar{x}_2 .1}{5+1} \\ 492&=400+\bar{x}_2 \\ \bar{x}_2&=492-400=92 \end{aligned} $$ Jadi, nilai ulangan matematika Adi yang baru adalah $\boxed{92}$ .
$$ \begin{aligned} \bar{x}_{\text {gabungan }}&=\frac{\bar{x}_1 \cdot n_1+\bar{x}_2 \cdot n_2}{n_1+n_2} \\ 82&=\frac{80.5+\bar{x}_2 .1}{5+1} \\ 492&=400+\bar{x}_2 \\ \bar{x}_2&=492-400=92 \end{aligned} $$ Jadi, nilai ulangan matematika Adi yang baru adalah $\boxed{92}$ .
16. Peluang terambilnya kelereng putih jika pada sebuah kotak terdapat 6
kelereng biru, 5 kelereng kuning, dan 4 kelereng putih adalah ....
A. $\frac{4}{15}$
B. $\frac{5}{15}$
C. $\frac{6}{15}$
D. $\frac{7}{15}$
Jawaban: A
Banyaknya kejadian yang mungkin $=P(S)=6+5+4=15$
Banyaknya kelereng putih $=4$
Peluang terambilnya kelereng putih $=\frac{4}{15}$
17. Di atas sebuah rak buku di perpustakaan sekolah terdapat:
10 buku matematika
50 buku ipa
20 buku bahasa indonesia
70 buku ips
Jika diambil sebuah buku secara acak, peluang yang
terambil buku matematika adalah ....
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{15}$
D. $\frac{1}{15}$
Jawaban: $D$
Banyaknya kejadian yang mungkin $=P(S)=10+50+20+70=150$ Banyaknya buku
matematika $=10$
Beluang terambilnya buku matematika $=\frac{10}{150}=\frac{1}{15}$
18. Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Peluang muncul mata dadu ganjil
adalah ....
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{6}$
Jawaban: B
Banyaknya kejadian yang mungkin $=P(S)=6$
Banyaknya mata dadu ganjil $=\{1,3,5\}=3$
Peluang terambilnya mata dadu ganjil $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
19. Tiga uang logam dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang muncul
satu gambar dan dua angka adalah ....
A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{3}{4}$
Jawaban: A
Banyaknya kejadian yang mungkin $=P(S)=8$
Banyaknya satu gambar dan dua angka $=\{\mathrm{AAG}, \mathrm{AGA},
\mathrm{GAA}\}=3$
Peluang terambilnya satu gambar dan dua angka $=\frac{3}{8}$
20. Pada pelemparan dua buah dadu, peluang munculnya mata dadu berjumlah 6
adalah ....
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{5}{36}$
D. $\frac{1}{6}$
Jawaban: $C$
Banyaknya kejadian yang mungkin $=P(S)=36$
Banyaknya mata dadu berjumlah $6=\{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)\}$ $=5$
Peluang terambilnya satu gambar dan dua angka $=\frac{5}{36}$
Posting Komentar untuk "Materi Peluang dan Soal Pembahasan"