Menyajikan Operasi Himpunan Dalam Diagram Venn
Pengantar
Setelah pada postingan sebelumnya kita membahas tentang pengertian
himpunan, dan menyajikan hubungan antarhimpunan dengan diagram Venn,
maka pada kesempatan ini kita akan membahas tentang menyajikan operasi
himpunan dalam diagram Venn, sifat-sifat operasi himpunan, dan
penerapannya dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan
dengan konsep himpunan.
Jenis-jenis Operasi Himpunan
Di sini kita akan membahas operasi himpunan yang meliputi :
- irisan dua himpunan
- gabungan dua himpunan
- selisih (difference) dua himpunan
- komplemen suatu himpunan
Irisan Himpunan
Perhatikan ilustrasi berikut.
Hasil kuesioner dari sekelompok siswa yang gemar olahraga basket dan
sepak bola, tercatat nama Andi, Budi, Candra, dan Doni gemar basket.
Selain itu, juga tercatat Eka, Fahmi, Budi, dan Doni gemar sepak bola.
Menurut hasil kuesioner di atas, adakah siswa yang gemar kedua jenis
olahraga?
Jika disajikan dalam bentuk himpunan, diperoleh himpunan penggemar
basket dinotasikan dengan $A=\{\text{Andi, Budi, Candra, Doni}\}$ dan
himpunan penggemar sepak bola dinotasikan dengan $B=\{\text{Eka, Fahmi,
Budi, Doni}\}$.
Jika kegemaran sekelompok siswa itu digambarkan dengan diagram Venn
tampak bahwa Budi dan Doni gemar basket dan sepak bola yang merupakan
irisan dari himpunan $A$ dan $B$. Hal itu dapat ditulis $A\cap
B=\{\text{Budi, Doni}\}$. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai
berikut.
Kesimpulan
Irisan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotnya merupakan anggota $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A\cap B=\{x|x\in A\ \text{dan}\ x\in B\}$
Contoh.
Diketahui $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B=\{4, 5, 6, 7\}$
a. Tentukan $A\cap B$ dengan mendaftar anggotanya.
b. Buatlah diagram Venn dari soal tersebut.
Jawab.
a. $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B=\{4, 5, 6, 7\}$
Ada anggota $A$ dan $B$ yang sama, yaitu $4$ dan $5$ maka $A\cap B=\{4,
5\}$
b. Gambar diagram Venn terlihat seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Irisan Dua Himpunan |
Gabungan Dua Himpunan
Perhatikan dua himpunan berikut.
$A=\{\text{bulu tangkis, tenis, basket, voli, sepak bola}\}$
$B=\{\text{sepak bola, karate, pencak silat, gulat, judo}\}$
Jika anggota $A$ dan $B$ digabung, maka akan diperoleh himpunan baru.
Himpunan baru tersebut ditulis
$A\cup B=\{\text{bulu tangkis, tenis, basket, voli, sepak bola,
karate, pencak silat, gulat, judo}\}$.
Gabungan dua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan diagram Venn
seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Gabungan Dua Himpunan |
Kesimpulan
Gabungan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $A$ atau anggota himpunan $B$, dinotasikan dengan $A\cup B=\{x|x\in A\ \text{atau}\ x\in B\}$
Contoh.
Diketahui $A=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ dan $B=\{2, 6, 10, 14, 18\}$
a. Tentukan $A\cup B$ dengan mendaftar anggota-anggotanya.
b. Buat diagram Venn
Jawab.
a. \(\begin{array}{rcl}A&=&\{2, 4, 6, 8, 10,
12\}\\B&=&\{2, 6, 10, 14, 18\}\\A\cup B&=&\{2, 4, 6, 8,
10, 12, 14, 18\}\end{array}\)
b. Diagram Venn tampak seperti gambar berikut.
|
| Gambar: Gabungan Dua Himpunan |
Selisih (Difference) Dua Himpunan
Perhatikan dua bilangan berikut.
$A=\{\text{bilangan prima kurang dari 15}\}$
$B=\{\text{bilangan ganjil lebih dari 5 dan kurang dari 20}\}$
Adakah bilangan prima yang kurang dari 15, tetapi bukan bilangan ganjil
yang lebih dari 5 dan kurang dari 20? Jika dua himpunan tersebut dibuat
diagram Venn, akan diperoleh seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Selisih Dua Himpunan |
Bilangan prima yang kurang dari 15 tetapi bukan bilangan ganjil yang
lebih dari 5 dan kurang dari 20 adalah bagian yang diarsir pada gambar
tersebut. Pada bagian yang diarsir terdapat bilangan 2, 3, dan 5.
Bilangan 2, 3, dan 5 merupakan anggota-anggota himpunan $A$, tetapi
bukan anggota himpunan $B$. Selanjutnya 2, 3, dan 5 disebut selisih dari
himpunan $A$ dan $B$.
Kesimpulan
Selisih himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $A$, tetapi bukan anggota himpunan $B$, dinotasikan dengan $A-B=\{x|x\in A, x\not\in B\}$
Contoh.
Diketahui $A=\{a, b, c, d, e, f\}$ dan $B=\{a, e, i, o, u\}$
a. Tentukan $A-B$ dengan mendaftar anggota-anggotanya.
b. Buat diagram Venn dan arsir $A-B$
Jawab.
$\begin{array}{rcl}a.\ A&=&\{a, b, c, d, e,
f\}\\B&=&\{a, e, i, o, u\}\\A-B&=&\{b, c, d,
f\}\end{array}$
b. Diagram Venn
|
| Gambar : Selisih Dua Himpunan |
Komplemen Suatu Himpunan
Perhatikan diagram Venn berikut.
|
| Gambar : Komplemen suatu himpunan |
Diagram Venn tersebut menunjukkan $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
dan $A=\{1, 3, 5, 7\}$
Adakah himpunan $S$ yang bukan anggota himpunan $A$? Apakah $A\subset S$
? Anggota-anggota himpunan $S$ yang bukan anggota $A$ disebut
komplemen atau pelengkap dari $A$. Komplemen dari $A$ ditulis
$A'$ atau $A^c$. Berdasarkan diagram Venn pada gambar di atas diperoleh
$A'=A^c=\{2, 4, 6, 8, 9, 10\}$.
Dengan demikian, pengertian komplemen suatu himpunan adalah sebagai
berikut.
Kesimpulan
Jika $A$ adalah suatu himpunan dalam $S$ maka anggota himpunan $S$ yang bukan anggota $A$ disebut komplemen $A$ dan ditulis $A'$ atau $A^c$, dinotasikan dengan $A'=A^c=\{x|x\in S\ \text{dan}\ x\not\in A\}$
Contoh.
Misalkan :
$\begin {array}{rcl} S&=&\{\text{himpunan\ nama\ bulan\ dalam\
satu\ tahun}\}\\A&=&\{\text{Januari, Februari, Mei, Juni,
Juli}\}\\B&=&\{\text{September, Oktober, November,
Desember}\}\end{array}$
Tentukan :
a. $A'$ dengan menyebutkan anggota-anggotanya.
b. $B'$ dengan menyebutkan anggota-anggotanya.
Jawab.
a. Anggota-anggota $S$ yang bukan anggota $A$ adalah Maret, April,
Agustus, September, Oktober, November, dan Desember.
Jadi :
$A'=\{\text{Maret, April, Agustus, September, Oktober, November,
Desember}\}$
b. Anggota-anggota $S$ yang bukan anggota $B$ adalah Januari, Februari,
Maret, April, Mei, Juni, Juli, dan Agustus.
Jadi :
$B'=\{\text{Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli,
Agustus}\}$
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
Ada beberapa sifat yang perlu diketahui pada operasi dua atau lebih
himpunan. Misalkan diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut.
$\begin {array}{rcl} S&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10\}\\A&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B&=&\{3, 4, 5,
6\}\\C&=&\{3, 4, 5, 10\}\end{array}$
Dengan menggunakan himpunan-himpunan tersebut, mari kita uji beberapa
sifat himpunan.
Sifat Komutatif
Perhatikan operasi himpunan berikut.
$A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
$B=\{3, 4, 5, 6\}$
$\begin {array}{rcl} A\cup B&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8\}\\B\cup A&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\A\cap
B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\B\cap A&=&\{3, 4, 5,
6\}\end{array}$
Catatan
Sifat komutatif irisan yaitu : $A\cap B=B\cap A$
Sifat komutatif gabungan yaitu : $A\cup B=B\cup A$
Sifat Asosiatif
Perhatikan himpunan-himpunan berikut.
$A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
$B=\{3, 4, 5, 6\}$
$C=\{3, 4, 5, 10\}$
Kemudian kita akan melakukan operasi irisan himpunan-himpunan
tersebut.
\(\begin {array}{rcl} A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\B\cap
C&=&\{3, 4, 5\}\\(A\cap B)\cap C&=&\{3, 4,
5\}\\A\cap (B\cap C)&=&\{3, 4, 5\}\end{array}\)
Selanjutnya operasi gabungan himpunan-himpunan tersebut, seperti
terlihat di bawah ini.
\(\begin {array}{rcl} A\cup B&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8\}\\B\cup C&=&\{3, 4, 5, 6, 10\}\\(A\cup B)\cup
C&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\A\cup (B\cup
C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\end{array}\)
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Kesimpulan
Untuk sembarang himpunan $A, B\ \text{dan}\ C$ berlaku sifat berikut :
\(\begin{array}{rcl}(A\cap B)\cap C&=&A\cap (B\cap C)\\(A\cup B)\cup C&=&A\cup (B\cup C)\end{array}\)
Sifat Distributif
Perhatikan himpunan-himpunan berikut.
$A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
$B=\{3, 4, 5, 6\}$
$C=\{3, 4, 5, 10\}$
Kemudian kita akan melakukan operasi irisan dan gabungan
himpunan-himpunan tersebut.
\(\begin {array}{rcl} A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\A\cap
C&=&\{3, 4, 5\}\\(A\cap B)\cup (A\cap C)&=&\{3,
4, 5, 6\}\end{array}\)
\(\begin {array}{rcl} B\cup C&=&\{3, 4, 5, 6,
10\}\\A\cap (B\cup C)&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}\)
\(\begin {array}{rcl} B\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\A\cup
(B\cap C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\end{array}\)
\(\begin {array}{rcl} A\cup C&=&\{1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10\}\\(A\cup B)\cap (A\cup
C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\end{array}\)
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Kesimpulan
Untuk sembarang himpunan $A, B, \text{dan}\ C$ berlaku sifat berikut :
\(\begin{array}{rcl}A\cap (B\cup C)&=&(A\cap B)\cup (A\cap B)\\A\cup (B\cap C)&=&(A\cup B)\cap (A\cup B)\end{array}\)
Penerapan Himpunan
Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep
himpunan, akan lebih mudah jika memanfaatkan diagram Venn dalam
menyelesaikannya. Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Jumlah siswa kelas VIIA 32 orang, 20 orang diantaranya menyukai
pelajaran matematika dan 14 orang menyukai bahasa Inggris.
a. Buat diagram Venn dari permasalahan
tersebut.
b. Berapa siswa yang menyukai pelajaran
matematika dan bahasa Inggris?
2. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa yang mengikuti ekstra kurikuler
rohis, 15 siswa mengikuti PMR, dan 8 siswa mengikuti keduanya.
a. Buat diagram Venn dari permasalah
tersebut.
b. Berapa jumlah siswa seluruhnya?
3. Dalam seleksi siswa penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus dalam
tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang
dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang dinyatakan lulus tes
bahasa.
a. Buat diagram Venn dari permasalahan
tersebut.
b. Berapa banyak siswa yang dinyatakan
lulus sebagai penerima beasiswa?
4. Dari 80 orang siswa yang disurvei tentang kegemaran menonton olahraga
di televisi, diperoleh data 48 orang gemar menonton voli, 42 orang gemar
menonton basket dan 10 orang tidak gemar menonton acara tersebut. Banyak
siswa yang gemar menonton voli dan basket adalah ...
Jawab.
1. a. Diagram Venn
b. Misal siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris
adalah $x$, maka :
\(\begin{array}{rcl}(20-x)+x+14-x&=&32\\20-x+x+14-x&=&32\\20+14-x&=&32\\34-x&=&32\\x&=&34-32\\x&=&2\end{array}\)
Jadi, siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris ada 2
orang.
2. a. Diagram Venn
b. Misal :
$R=\{\text{siswa yang mengikuti rohis}\}$, $n(R)=17$
$P=\{\text{siswa yang mengikuti PMR}\}$, $n(P)=15$
$R\cap P=\{\text{siswa yang mengikuti rohis dan PMR}\}$, $n(R\cap P)=8$
Banyak siswa di kelas itu adalah :
\(\begin{array}{rcl}n(R\cup P)&=&n(R)+n(P)-n(R\cap
P)\\&=&17+15-8\\&=&24\end{array}\)
3. a. Diagram Venn
b. Misal :
$M=\{\text{siswa yang lulus matematika}\}$, $n(M)=103$
$B=\{\text{siswa yang lulus bahasa}\}$, $n(B)=142$
$S=\{\text{peserta tes}\}$, $n(S)=180$
$M\cap B=\{\text{siswa yang lulus seleksi}\}$, $n(M\cap B)=x$
Perhatikan diagram Venn di atas.
\(\begin{array}{rcl}n(S)&=&(103-x)+(x)+(142-x)\\180&=&103+142-x\\180&=&245-x\\x&=&245-180\\x&=&65\end{array}\)
Jadi $M\cap B=x=65$
artinya banyak siswa penerima beasiswa adalah 65 orang.
Cara lain :
$n(S)=n(M\cup B)$
\(\begin{array}{rcl}n(S)&=&n(M)+n(B)-n(M\cap
B)\\180&=&103+142-n(M\cap B)\\180&=&245-n(M\cap
B)\\n(M\cap B)&=&245-180\\&=&65\end{array}\)
4. Misal :
$V=\{\text{gemar menonton voli}\}$, $n(V)=48$
$B=\{\text{gemar menonton basket}\}$, $n(B)=42$
$V'\cap B'=\{\text{tidak gemar menonton voli dan basket}\}$,
$n(V'\cap B'=10$
Maka :
\(\begin{array}{rcl}n(V\cup B)&=&n(V)+n(B)-n(V\cap
B)+n(V'\cap B')\\80&=&48+42-n(V\cap
B)+10\\80&=&100-n(V\cap B)\\n(V\cap
B)&=&100-80\\n(V\cap B)&=&20\end{array}\)</
Jadi banyaknya siswa yang gemar menonton voli dan basket adalah 20
orang.
Evaluasi
Setelah mempelajari materi tentang operasi himpunan, sifat-sifat
operasi himpunan, dan penerapan himpunan dalam menyelesaikan masalah
sehari-hari, sekarang kita akan melakukan evaluasi untuk mengukur
pemahaman terhadap materi tersebut. Silakan kerjakan kuis berikut
dengan mengklik tombol di bawah ini.
Penutup
Demikian postingan tentang materi himpunan pada submateri menyajikan
operasi himpunan dalam diagram Venn, serta sifat-sifat operasi
himpunan, dan penerapan konsep himpunan dalam menyelesaikan masalah
sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan. Semoga
bermanfaat.
🙏Salam Bahagia.
🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
📚 "Menyajikan Operasi Himpunan Dalam Diagram Venn", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei
