Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / olympiad

Pelajaran 2: 👨‍🏫Monomials and Polynomials

Kuliah 2: Monomial dan Polinomial

Kuliah 2: Monomial dan Polinomial

Selamat datang di artikel ini! Di sini, kita akan membahas materi kuliah tentang monomial dan polinomial. Materi ini diterjemahkan dan ditulis ulang dari dokumen asli ke dalam bahasa Indonesia untuk memudahkan pemahaman. Kita akan membahas definisi, operasi, contoh, dan soal-soal latihan. Mari kita mulai!

Definisi

Monomial: Sebuah hasil kali dari bilangan numerik dan huruf disebut monomial. Secara khusus, sebuah bilangan atau huruf saja juga merupakan monomial, misalnya 16, $32x$, dan $2ax^2y$, dll.
Koefisien: Dalam setiap monomial, bagian yang terdiri dari bilangan numerik dan huruf yang menunjukkan konstanta disebut koefisien monomial, seperti 32 dalam $32x$, $2a$ dalam $2ax^2y$, dll.
Derajat Monomial: Dalam sebuah monomial, jumlah semua indeks huruf yang menunjukkan variabel disebut derajat monomial. Misalnya, derajat dari $3abx^2$ adalah 2, dan derajat dari $7a^4xy^2$ adalah 3.
Polinomial: Jumlah dari beberapa monomial disebut polinomial, setiap monomialnya disebut suku, suku yang tidak mengandung huruf disebut suku konstan polinomial. Nilai maksimum derajat suku dalam polinomial disebut derajat polinomial, misalnya derajat 2 untuk $3x^2 + 4x + 1$, dan 5 untuk $2x^2y^3 + 2y$. Sebuah polinomial disebut homogen jika semua sukunya memiliki derajat yang sama, seperti $3x^2 + xy + 4y^2$.
Pengaturan Suku: Saat mengatur suku dalam polinomial, suku dapat diatur sehingga derajatnya dalam urutan naik atau turun, dan tanda di depan suku harus tetap melekat saat memindahkannya. Misalnya, polinomial $x^3y^3 - 1 - 2xy^2 - x^3y$ harus diatur sebagai $x^3y^3 - x^3y - 2xy^2 - 1$ atau $-1 - 2xy^2 - x^3y + x^3y^3$.
Suku Sejenis: Dua suku disebut suku sejenis jika mereka memiliki konstruksi yang sama kecuali koefisiennya, seperti dalam $4ax^2y$ dan $5bx^2y$.
Menggabungkan Suku Sejenis: Saat melakukan penjumlahan atau pengurangan pada dua suku sejenis, artinya melakukan operasi yang sesuai pada koefisien mereka. Misalnya, $4ax^2y + 5bx^2y = (4a + 5b)x^2y$ dan $4ax^2y - 5bx^2y = (4a - 5b)x^2y$.

Operasi pada Polinomial

Penjumlahan:

Menjumlahkan dua polinomial berarti:

  1. Ambil semua suku dalam dua polinomial sebagai suku dari jumlah;
  2. Gabungkan semua suku sejenis jika ada;
  3. Atur semua suku yang digabungkan sesuai urutan derajat naik atau turun.

Pengurangan:

Biarkan P dan Q dua polinomial. Maka P - Q berarti:

  1. Ubah tanda semua suku di Q untuk mendapatkan -Q terlebih dahulu;
  2. Ambil semua suku dalam dua polinomial P dan -Q sebagai suku dari P - Q;
  3. Gabungkan semua suku sejenis jika ada;
  4. Atur semua suku yang digabungkan sesuai aturan di atas.

Aturan Menghapus atau Menambahkan Kurung:

Aturan untuk menghapus atau menambahkan kurung adalah hukum distributif. Misalnya, untuk menghapus kurung dalam ekspresi $-2x(x^3y - 4x^2y^2 + 4)$, maka $-2x(x^3y - 4x^2y^2 + 4) = -2x^4y + 8x^3y^2 - 8x$, dan untuk menambahkan sepasang kurung yang berisi suku dari ekspresi $-4x^5y^2 + 6x^4y - 8x^2y^2$ dan ambil faktor umum mereka dengan koefisien negatif, maka $-4x^5y^2 + 6x^4y - 8x^2y^2 = -2x^2y(2x^3y - 3x^2 + 4y)$.

Perkalian:

  1. Untuk bilangan asli m dan n, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $(a^m)^n = a^{mn}$; $(ab)^n = a^n b^n$;
  2. Saat dua monomial dikalikan, koefisien hasil kali adalah hasil kali koefisien, huruf dikalikan sesuai aturan di (i);
  3. Saat dua polinomial dikalikan, dengan menggunakan hukum distributif, dapatkan jumlah hasil kali monomial dan polinomial terlebih dahulu, lalu gunakan hukum distributif lagi, dapatkan jumlah hasil kali dua monomial;
  4. Tiga rumus dasar dalam perkalian: (i) $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$; (ii) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; (iii) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Contoh-contoh

Contoh 1.

Sederhanakan $3a + \{-4b - [4a - 7b - (-4a - b)] + 5a\}$.

Solusi:

$\begin{align} & 3a + \{-4b - [4a - 7b - (-4a - b)] + 5a\} \\ &= 3a + \{-4b - [8a - 6b] + 5a\} = 3a + \{-3a + 2b\} \\ &= 2b. \\ \text{Atau } & 3a + \{-4b - [4a - 7b - (-4a - b)] + 5a\} \\ &= 8a - 4b - [4a - 7b - (-4a - b)] \\ &= 4a + 3b + (-4a - b) \\ &= 2b \end{align}$

Catatan: Kita bisa menghapus kurung dari lapisan terdalam ke terluar, atau sebaliknya.

Contoh 2.

Sederhanakan ekspresi $4\{(3x - 2) - [3(3x - 2) + 3]\} - (4 - 6x)$.

Solusi: Ambil $3x - 2$ sebagai satu bilangan y dalam proses penyederhanaan terlebih dahulu, kita punya $4\{y - [3y + 3]\} + 2y = 4\{-2y - 3\} + 2y = -6y - 12 = -6(3x - 2) - 12 = -18x$.

Contoh 3.

Hitung $-9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1})$, di mana $x = 9$, $n = 3$.

Solusi: $-9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1}) = 8x^{n-1} - 8x^{n-2}$. Dengan substitusi $x = 9$, $n = 3$, maka ekspresi = $8 \times (81 - 9) = 576$.

Contoh 4.

Diberikan $x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy - b x c y + 7xy^2 + d x y + y^2 = x^3 + y^2$ untuk setiap bilangan real x dan y, temukan nilai a, b, c, d.

Solusi: $4x^2y$ dan $-b x c y$ harus suku sejenis dan jumlahnya 0, jadi $b = 4$, $c = 2$. $a x y^2 + 7 x y^2 = 0$ dan $3 x y + d x y = 0$ untuk setiap x dan y menghasilkan $a + 7 = 0$ dan $3 + d = 0$, jadi $a = -7$, $d = -3$. Jadi, a = -7, b = 4, c = 2, d = -3.

Contoh 5.

Diberikan m, x, y memenuhi (i) $\frac{2}{3}(x - 5)^2 + 5m^2 = 0$; (ii) $-2a^2 b y + 1$ dan $3a^2 b^3$ adalah suku sejenis, temukan nilai ekspresi $\frac{3}{8}x^2 y + 5m^2 - \left( -\frac{7}{16}x^2 y + \left( -\frac{1}{4}x y^2 - \frac{3}{16}x^2 y - 3.475 x y^2 \right) - 6.275 x y^2 \right)$.

Solusi: Kondisi (i) menyiratkan $(x-5)^2 = 0$, $5m^2 = 0$, jadi x = 5, m = 0. Kondisi (ii) menyiratkan y + 1 = 3, yaitu y = 2. Oleh karena itu, ekspresi = $x^2 y + 10 x y^2 = (5^2)(2) + 10(5)(2^2) = 250$.

Contoh 6.

Diberikan $P(x) = n x^{n+4} + 3 x^4 - n - 2 x^3 + 4 x - 5$, $Q(x) = 3 x^{n+4} - x^4 + x^3 + 2 n x^2 + x - 2$ adalah dua polinomial. Tentukan apakah ada bilangan bulat n sehingga selisih P - Q adalah polinomial dengan derajat 5 dan enam suku.

Solusi: $P(x) - Q(x) = (n-3) x^{n+4} + 3 x^{4-n} + x^4 - 3 x^3 - 2 n x^2 + 3 x - 3$. Saat n + 4 = 5, maka n = 1, sehingga $3 x^{4-n} - 3 x^3 = 0$, selisih memiliki hanya 5 suku. Saat 4 - n = 5, maka n = -1, sehingga $P(x) - Q(x) = 3 x^5 + x^4 - 7 x^3 + 2 x^2 + 3 x - 3$ yang memenuhi persyaratan. Jadi, n = -1.

Contoh 7.

Ekspansi $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$.

Solusi:

$\begin{aligned} &(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) \\ &= [(x - 1)(x - 4)] \cdot [(x - 2)(x - 3)] \\ &= (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) \\ &= (x^2 - 5x + 5 - 1)(x^2 - 5x + 5 + 1) \\ &= (x^2 - 5x + 5)^2 - 1 \\ &= x^4 - 10 x^3 + 35 x^2 - 50 x + 24 \end{aligned}$

Contoh 8.

Ekspansi $(5 x y - 3 x^2 + \frac{1}{2} y^2)(5 x y + 3 x^2 - \frac{1}{2} y^2)$.

Solusi: Mengingat rumus $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, kita punya $(5 x y)^2 - (3 x^2 - \frac{1}{2} y^2)^2 = 25 x^2 y^2 - (9 x^4 - 3 x^2 y^2 + \frac{1}{4} y^4) = -9 x^4 + 28 x^2 y^2 - \frac{1}{4} y^4$.

Contoh 9.

Diberikan $x^2 - x - 1 = 0$, sederhanakan $\frac{x^3 + x + 1}{x^5}$ menjadi bentuk polinomial.

Solusi: $x^2 - x - 1 = 0$ menghasilkan $x + 1 = x^2$, jadi $\frac{x^3 + x + 1}{x^5} = \frac{x^3 + x^2}{x^5} = \frac{x + 1}{x^3} = \frac{1}{x} = x - 1$.

Soal-soal Latihan (A)

1. Dalam ekspresi berikut, mana yang bukan monomial? (A) $\frac{x}{5}$ (B) $-0.5(1 + \frac{1}{x})$ (C) $\frac{3}{x^2}$
2. Derajat jumlah dua polinomial dengan derajat 4 masing-masing harus (A) 8, (B) 4, (C) kurang dari 4, (D) tidak lebih dari 4.
3. Saat melakukan penjumlahan dua polinomial, Adam salah mengira "tambah polinomial $2x^2 + x + 1$" sebagai "kurangi $2x^2 + x + 1$", dan hasilnya adalah $5x^2 - 2x + 4$. Temukan jawaban yang benar.
4. Diberikan monomial $0.75 x^b y^c$ dan $-0.5 x^{m-1} y^{2n-1}$ adalah suku sejenis, dan jumlahnya adalah $1.25 a x^n y^m$, temukan nilai $a b c$.
5. Jika $x^5$, $x + \frac{1}{x}$, $1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$ dikalikan bersama, produknya adalah polinomial, maka derajat produk adalah (A) 4, (B) 5, (C) 6, (D) 7, (E) 8.
6. Temukan bilangan asli n, sehingga $2^8 + 2^{10} + 2^n$ adalah bilangan kuadrat sempurna.
7. Diberikan $3x^2 + x = 1$, temukan nilai $6x^3 - x^2 - 3x + 2010$.
8. Jika $x = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b}$, maka nilai x adalah (A) $\frac{1}{2}$, (B) -1, (C) $\frac{1}{2}$ atau -1, (D) $\frac{3}{2}$.
9. Jika $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4$, temukan nilai $\frac{2x + 4 x y - 2 y}{x - y - 2 x y}$.

Soal-soal Latihan (B)

1. (UKJMO/1995(B)) Sembilan persegi disusun membentuk persegi panjang seperti yang ditunjukkan. Persegi terkecil memiliki sisi panjang 1. Berapa besar persegi terkecil berikutnya? Dan bagaimana dengan luas persegi panjang?
2. Biarkan $P(x) = a x^7 + b x^3 + c x - 5$, di mana a, b, c adalah konstanta. Diberikan $P(-7) = 7$, temukan nilai $P(7)$.
3. Jika a, b, c adalah bilangan real non-nol, memenuhi $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$, buktikan bahwa di antara a, b, c pasti ada dua bilangan yang berlawanan.
4. Jika $x y = a$, $x z = b$, $y z = c$ dan $a b c \neq 0$, temukan nilai $x^2 + y^2 + z^2$ dalam bentuk a, b, c.
5. Diberikan $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0$. Temukan nilai $a^{2000} + a^{2010} + 1$.
6. Jika $(x^2 - x - 1)^n = a_{2n} x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, temukan nilai $a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}$.

Terima kasih telah membaca! Semoga materi ini bermanfaat.