Pelajaran 2: 👨‍🏫Monomials and Polynomials

Catatan: Kita bisa menghapus kurung dari lapisan terdalam ke terluar, atau sebaliknya.

Contoh 2.

Sederhanakan ekspresi $4\{(3x - 2) - [3(3x - 2) + 3]\} - (4 - 6x)$.

Solusi: Ambil $3x - 2$ sebagai satu bilangan y dalam proses penyederhanaan terlebih dahulu, kita punya $4\{y - [3y + 3]\} + 2y = 4\{-2y - 3\} + 2y = -6y - 12 = -6(3x - 2) - 12 = -18x$.

Contoh 3.

Hitung $-9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1})$, di mana $x = 9$, $n = 3$.

Solusi: $-9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1}) = 8x^{n-1} - 8x^{n-2}$. Dengan substitusi $x = 9$, $n = 3$, maka ekspresi = $8 \times (81 - 9) = 576$.

Contoh 4.

Diberikan $x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy - b x c y + 7xy^2 + d x y + y^2 = x^3 + y^2$ untuk setiap bilangan real x dan y, temukan nilai a, b, c, d.

Solusi: $4x^2y$ dan $-b x c y$ harus suku sejenis dan jumlahnya 0, jadi $b = 4$, $c = 2$. $a x y^2 + 7 x y^2 = 0$ dan $3 x y + d x y = 0$ untuk setiap x dan y menghasilkan $a + 7 = 0$ dan $3 + d = 0$, jadi $a = -7$, $d = -3$. Jadi, a = -7, b = 4, c = 2, d = -3.

Contoh 5.

Diberikan m, x, y memenuhi (i) $\frac{2}{3}(x - 5)^2 + 5m^2 = 0$; (ii) $-2a^2 b y + 1$ dan $3a^2 b^3$ adalah suku sejenis, temukan nilai ekspresi $\frac{3}{8}x^2 y + 5m^2 - \left( -\frac{7}{16}x^2 y + \left( -\frac{1}{4}x y^2 - \frac{3}{16}x^2 y - 3.475 x y^2 \right) - 6.275 x y^2 \right)$.

Solusi: Kondisi (i) menyiratkan $(x-5)^2 = 0$, $5m^2 = 0$, jadi x = 5, m = 0. Kondisi (ii) menyiratkan y + 1 = 3, yaitu y = 2. Oleh karena itu, ekspresi = $x^2 y + 10 x y^2 = (5^2)(2) + 10(5)(2^2) = 250$.

Contoh 6.

Diberikan $P(x) = n x^{n+4} + 3 x^4 - n - 2 x^3 + 4 x - 5$, $Q(x) = 3 x^{n+4} - x^4 + x^3 + 2 n x^2 + x - 2$ adalah dua polinomial. Tentukan apakah ada bilangan bulat n sehingga selisih P - Q adalah polinomial dengan derajat 5 dan enam suku.

Solusi: $P(x) - Q(x) = (n-3) x^{n+4} + 3 x^{4-n} + x^4 - 3 x^3 - 2 n x^2 + 3 x - 3$. Saat n + 4 = 5, maka n = 1, sehingga $3 x^{4-n} - 3 x^3 = 0$, selisih memiliki hanya 5 suku. Saat 4 - n = 5, maka n = -1, sehingga $P(x) - Q(x) = 3 x^5 + x^4 - 7 x^3 + 2 x^2 + 3 x - 3$ yang memenuhi persyaratan. Jadi, n = -1.

Contoh 7.

Ekspansi $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$.

Solusi:

$\begin{aligned} &(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) \\ &= [(x - 1)(x - 4)] \cdot [(x - 2)(x - 3)] \\ &= (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) \\ &= (x^2 - 5x + 5 - 1)(x^2 - 5x + 5 + 1) \\ &= (x^2 - 5x + 5)^2 - 1 \\ &= x^4 - 10 x^3 + 35 x^2 - 50 x + 24 \end{aligned}$

Contoh 8.

Ekspansi $(5 x y - 3 x^2 + \frac{1}{2} y^2)(5 x y + 3 x^2 - \frac{1}{2} y^2)$.

Solusi: Mengingat rumus $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, kita punya $(5 x y)^2 - (3 x^2 - \frac{1}{2} y^2)^2 = 25 x^2 y^2 - (9 x^4 - 3 x^2 y^2 + \frac{1}{4} y^4) = -9 x^4 + 28 x^2 y^2 - \frac{1}{4} y^4$.

Contoh 9.

Diberikan $x^2 - x - 1 = 0$, sederhanakan $\frac{x^3 + x + 1}{x^5}$ menjadi bentuk polinomial.

Solusi: $x^2 - x - 1 = 0$ menghasilkan $x + 1 = x^2$, jadi $\frac{x^3 + x + 1}{x^5} = \frac{x^3 + x^2}{x^5} = \frac{x + 1}{x^3} = \frac{1}{x} = x - 1$.

Soal-soal Latihan (A)

1. Dalam ekspresi berikut, mana yang bukan monomial? (A) $\frac{x}{5}$ (B) $-0.5(1 + \frac{1}{x})$ (C) $\frac{3}{x^2}$

2. Derajat jumlah dua polinomial dengan derajat 4 masing-masing harus (A) 8, (B) 4, (C) kurang dari 4, (D) tidak lebih dari 4.

3. Saat melakukan penjumlahan dua polinomial, Adam salah mengira "tambah polinomial $2x^2 + x + 1$" sebagai "kurangi $2x^2 + x + 1$", dan hasilnya adalah $5x^2 - 2x + 4$. Temukan jawaban yang benar.

4. Diberikan monomial $0.75 x^b y^c$ dan $-0.5 x^{m-1} y^{2n-1}$ adalah suku sejenis, dan jumlahnya adalah $1.25 a x^n y^m$, temukan nilai $a b c$.

5. Jika $x^5$, $x + \frac{1}{x}$, $1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$ dikalikan bersama, produknya adalah polinomial, maka derajat produk adalah (A) 4, (B) 5, (C) 6, (D) 7, (E) 8.

6. Temukan bilangan asli n, sehingga $2^8 + 2^{10} + 2^n$ adalah bilangan kuadrat sempurna.

7. Diberikan $3x^2 + x = 1$, temukan nilai $6x^3 - x^2 - 3x + 2010$.

8. Jika $x = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b}$, maka nilai x adalah (A) $\frac{1}{2}$, (B) -1, (C) $\frac{1}{2}$ atau -1, (D) $\frac{3}{2}$.

9. Jika $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4$, temukan nilai $\frac{2x + 4 x y - 2 y}{x - y - 2 x y}$.

Soal-soal Latihan (B)

1. (UKJMO/1995(B)) Sembilan persegi disusun membentuk persegi panjang seperti yang ditunjukkan. Persegi terkecil memiliki sisi panjang 1. Berapa besar persegi terkecil berikutnya? Dan bagaimana dengan luas persegi panjang?

2. Biarkan $P(x) = a x^7 + b x^3 + c x - 5$, di mana a, b, c adalah konstanta. Diberikan $P(-7) = 7$, temukan nilai $P(7)$.

3. Jika a, b, c adalah bilangan real non-nol, memenuhi $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$, buktikan bahwa di antara a, b, c pasti ada dua bilangan yang berlawanan.

4. Jika $x y = a$, $x z = b$, $y z = c$ dan $a b c \neq 0$, temukan nilai $x^2 + y^2 + z^2$ dalam bentuk a, b, c.

5. Diberikan $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0$. Temukan nilai $a^{2000} + a^{2010} + 1$.

6. Jika $(x^2 - x - 1)^n = a_{2n} x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, temukan nilai $a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}$.

Terima kasih telah membaca! Semoga materi ini bermanfaat.

🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:

📚 "Pelajaran 2: 👨‍🏫Monomials and Polynomials", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda.

"Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei