LKPD - ✅ Pangkat dan Akar
📐 Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Matematika
🔢 Pertemuan 1: Bilangan Berpangkat
Kompetensi Dasar: 3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar serta sifat-sifatnya.
📚 Pengertian Bilangan Berpangkat
Jika \( a \in \mathbb{R} \) dan \( n \) adalah bilangan bulat, maka \( a^n \) (dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyak n kali (faktor):
\[ a^n = a \times a \times a \times \ldots \times a \quad \text{(sebanyak n faktor)} \]
- \( a^n \) disebut dengan bilangan berpangkat
- \( a \) disebut bilangan pokok
- \( n \) disebut pangkat (eksponen) dan \( n \) bilangan positif
🧮 Perhatikan contoh berikut!
- \( 6^2 = 6 \times 6 = 36 \)
- \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
- \( (-3)^5 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = -243 \)
- \( (-1)^9 = (-1) \times (-1) \times \ldots \times (-1) = -1 \) (9 kali)
💡 Ayo Kita Mencoba!
- Tentukanlah arti dan hasil dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut!
- \( 5^4 \)
- \( (-3a)^7 \)
- Tulislah bilangan berikut dalam bentuk bilangan berpangkat!
- 81
- -125
- Tim peneliti dari Dinas Kesehatan suatu daerah di Indonesia Barat meneliti suatu wabah yang sedang berkembang di Desa Y. Tim peneliti tersebut menemukan fakta bahwa wabah yang berkembang disebabkan oleh virus yang tengah berkembang di Asia. Dari hasil penelitian didapatkan bahwa virus tersebut dapat berkembang dengan cara membelah diri menjadi 3 virus setiap setengah jam dan menyerang sistem kekebalan tubuh. Berapakah jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 10 jam?
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!
🔍 Bilangan Bulat Berpangkat Negatif dan Nol
Bilangan bulat berpangkat negatif
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{atau} \quad a^n = \frac{1}{a^{-n}} \]
Contoh:
\[ 2^{-4} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \]
\[ (-5)^{-2} = \left( -\frac{1}{5} \right)^2 = \left( -\frac{1}{5} \right) \times \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{1}{25} \]
Bilangan bulat berpangkat nol
Untuk setiap \( a \in \mathbb{R} \) dan \( a \neq 0 \), maka \( a^0 = 1 \). Bilangan \( a^0 \) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya. Untuk \( a = 0 \), maka \( 0^0 \) tidak terdefinisi.
Contoh:
\[ 3^0 = 1 \]
\[ (-20)^0 = 1 \]
💡 Ayo Kita Mencoba!
- Hitunglah hasil dari bilangan berpangkat negatif berikut!
- \( 3^{-4} \)
- \( -(7)^{-5} \)
- \( 8^{-3} \)
- \( (-2)^{-8} \)
- Hitunglah!
- \( 22^0 \)
- \( -(12)^0 \)
- \( 9^0 \)
- \( (-3)^0 \)
- Air menetes sia-sia dari suatu kran air karena tidak tertutup dengan benar. Jika air menetes sebanyak \( 10^{-3} \) liter per detik, berapa banyak air yang terbuang selama 5 jam?
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!
🧮 Pertemuan 2: Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat
Kompetensi Dasar: 3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar serta sifat-sifatnya.
🎯 Tujuan Pembelajaran:
- Memahami sifat perkalian pada perpangkatan
- Memahami sifat pembagian pada perpangkatan
- Memahami sifat pemangkatan pada perpangkatan
✖️ I. Perkalian pada Perpangkatan
| Operasi Perkalian pada Perpangkatan | Operasi Perkalian | Perpangkatan |
|---|---|---|
| \( 3^2 \times 3^3 \) | \( (3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3) \) | \( 3^5 \) |
| \( (-3)^2 \times (-3)^3 \) | \( (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \) | \( (-3)^5 \) |
| \( y^5 \times y^2 \) | \( (y \times y \times y \times y \times y) \times (y \times y) \) | \( y^7 \) |
💡 Ayo Kita Mencoba!
Setelah kamu mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini.
| Operasi Perkalian pada Perpangkatan | Operasi Perkalian | Perpangkatan |
|---|---|---|
| \( 6^3 \times 6^2 \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( 4,2^2 \times 4,2^5 \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( 7^4 \times 7^2 \) | _________________________________ | _________________________________ |
Setelah melengkapi tabel di atas, informasi apakah yang kamu dapatkan mengenai operasi perkalian pada perpangkatan?
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!
💡 Ayo Kita Menalar!
Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis a di bawah ini.
\[ a^m \times a^n = a^{\text{...}} \]
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!
➗ II. Pembagian pada Perpangkatan
Amatilah tabel di bawah ini.
| Pembagian Pada Perpangkatan | Bentuk Perkalian Berulang | Perpangkatan |
|---|---|---|
| \( \frac{3^6}{3^2} \) | \( \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} \) | \( 3^4 \) |
| \( \frac{(-2)^5}{(-2)^2} \) | \( \frac{(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)}{(-2) \times (-2)} \) | \( (-2)^3 \) |
| \( \frac{6^6}{6^2} \) | \( \frac{6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6}{6 \times 6} \) | \( 6^4 \) |
Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan "pembagian pada perpangkatan".
⬆️ Tulis pertanyaanmu di sini!
💡 Ayo Kita Mencoba!
Setelah kamu mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini.
| Pembagian pada Perpangkatan | Bentuk Perkalian Berulang | Perpangkatan |
|---|---|---|
| \( \frac{(4,2)^{10}}{(4,2)^5} \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( \frac{(-7)^7}{(-7)^3} \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( \frac{2^7}{2^4} \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( \frac{(-2,5)^4}{(-2,5)^2} \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( \frac{10^9}{10^7} \) | _________________________________ | _________________________________ |
Secara umum bentuk \( \frac{a^m}{a^n} \) dapat diubah menjadi:
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{\text{...}} \]
🔢 III. Pemangkatan pada Perpangkatan
Amati tabel berikut ini.
| Pemangkatan Suatu Perpangkatan | Bentuk Perkalian Berulang | Perpangkatan |
|---|---|---|
| \( (4^2)^3 \) | \( 4^2 \times 4^2 \times 4^2 = (4 \times 4) \times (4 \times 4) \times (4 \times 4) \) | \( 4^6 \) |
| \( (4^3)^2 \) | \( 4^3 \times 4^3 = (4 \times 4 \times 4) \times (4 \times 4 \times 4) \) | \( 4^6 \) |
| \( (2^4)^2 \) | \( 2^4 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) \) | \( 2^8 \) |
| \( (2^3)^3 \) | \( 2^3 \times 2^3 \times 2^3 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \) | \( 2^9 \) |
💡 Ayo Kita Mencoba!
Setelah mengamati tabel di atas, salin dan lengkapilah tabel di bawah ini.
| Pemangkatan Suatu Perpangkatan | Bentuk Perkalian Berulang | Perpangkatan |
|---|---|---|
| \( (7^2)^3 \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( (7^3)^2 \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( (2^4)^5 \) | _________________________________ | _________________________________ |
| \( (2^5)^4 \) | _________________________________ | _________________________________ |
Secara umum bentuk \( (a^m)^n \) dapat diubah menjadi:
\[ (a^m)^n = a^{\text{...}} \]
📝 Latihan
- Sederhanakan operasi aljabar berikut ini:
- \( y^3 \times 2y^7 \times (3y)^2 \)
- \( p \times 2q^7 \times p^3 \times q^2 \)
- \( (tn^3)^4 \times 4t^3 \)
- \( \frac{5^5}{5^2 \times 5^3} \)
- Nyatakan hasil kali perpangkatan berikut dalam bentuk pangkat yang lebih sederhana. Jelaskan dan gunakan cara yang lebih mudah.
\( 4^3 \times 5^6 \)
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!
√ Pertemuan 3: Bentuk Akar
Kompetensi Dasar: 3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar serta sifat-sifatnya.
🎯 Tujuan Pembelajaran:
- Memahami hubungan akar bilangan dengan pangkat pecahan
- Menyederhanakan akar bilangan
- Memahami operasi akar bilangan
🔗 I. Memahami hubungan akar bilangan dengan pangkat pecahan
Mencari nilai \( \sqrt[n]{a} \) dari bilangan a, pada dasarnya adalah mencari suatu bilangan yang jika dipangkatkan n akan menghasilkan a.
Dengan demikian, akar kuadrat suatu bilangan merupakan operasi kebalikan atau invers dari kuadrat (pangkat 2).
Perhatikan uraian berikut:
\( \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a \)
\( a^{1/2} \times a^{1/2} = a^1 \)
Jadi, \( \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a^1 \) dan \( \sqrt{a} = a^{1/2} \)
Untuk sembarang bilangan a dengan a ≠ 0, berlaku:
\[ a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \quad \text{dengan } a \neq 0 \]
Contoh Soal:
Tentukan bentuk sederhana dari:
- \( \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{2^{3 \times 2}} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{6/3} = 2^2 = 4 \)
- \( 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^{3 \times 2/3} = 2^2 = 4 \)
✂️ II. Menyederhanakan akar kuadrat bilangan irasional
- Menentukan faktor dari bilangan tersebut dimana salah satu bilangan dari faktor tersebut merupakan bilangan kuadrat yang terbesar.
- \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \) → faktor dari 20 adalah 4 dan 5. Yang merupakan bilangan kuadrat adalah 4.
- \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \) → faktor dari 48 adalah 16 dan 3. Yang merupakan bilangan kuadrat adalah 16.
🧮 III. Operasi akar bilangan
Pada operasi penjumlahan dan pengurangan, yang dapat disederhanakan adalah akar-akar yang memiliki pangkat akar yang sama dan bilangan di bawah tanda akar juga sama.
Pada operasi perkalian dan pembagian, yang dapat disederhanakan adalah akar bilangan yang senama.
Contoh Soal:
Tentukan hasil operasi dari:
- \( 9\sqrt{3} + \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \)
- \( 6\sqrt{5} - \sqrt{40} = 6\sqrt{5} - \sqrt{8 \times 5} = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \)
- \( 2\sqrt{3} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \times 5} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \)
- \( \sqrt{240} \div \sqrt{5} = \sqrt{240 \div 5} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)
📝 Latihan
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Hasil dari \( \sqrt{12} + \sqrt{27} + \sqrt{75} \) adalah ….
- 10
- \( 5\sqrt{3} \)
- \( 10\sqrt{3} \)
- \( 4\sqrt{3} \)
- Bentuk sederhana dari \( \sqrt{2} + 5\sqrt{2} \) adalah …
- \( \sqrt{6} \)
- \( 2\sqrt{6} \)
- \( 6\sqrt{2} \)
- 6
- Bentuk sederhana dari \( \sqrt{90} \) adalah …
- 30
- \( 3\sqrt{30} \)
- \( 9\sqrt{10} \)
- \( 3\sqrt{10} \)
- Bentuk sederhana dari \( \sqrt{27} + \sqrt{48} - 2\sqrt{3} + \sqrt{12} \) adalah …
- \( 5\sqrt{10} \)
- \( 7\sqrt{3} \)
- \( 10\sqrt{5} \)
- \( 3\sqrt{7} \)
- Hasil dari \( \sqrt{64} \times \sqrt{16} \) adalah …
- 8
- 32
- 16
- 24
- Hasil dari \( 27^{2/3} \) adalah …
- 9
- 81
- 18
- 243
- Hasil dari \( 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} \div \sqrt{48} \) adalah …
- \( 3\sqrt{3} \)
- \( 5\sqrt{2} \)
- \( 4\sqrt{3} \)
- \( 6\sqrt{2} \)
- Diberikan persamaan \( \frac{5^m}{5^n} = 5^4 \)
- Tentukan 2 bilangan m dan n yang bernilai dari 1 sampai 9 sehingga dapat memenuhi persamaan di atas.
- Tentukan banyak penyelesaian dari persamaan tersebut. Jelaskan jawabanmu.
- Bilangan \( \frac{2^{2015} + 2^{2014} + 2^{2013}}{14} \) setara dengan \( 2^y \) untuk y suatu bilangan bulat positif. Tentukan nilai y.
- Tentukan nilai n dari pembagian pada perpangkatan \( \frac{3^6}{3^2} = n \times 9 \)
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!
🧠 Pertemuan 4: Merasionalkan Bentuk Akar
Kompetensi Dasar: 3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar serta sifat-sifatnya.
🎯 Tujuan Pembelajaran:
- Merasionalkan bentuk akar kuadrat \( \frac{a}{\sqrt{b}} \)
- Merasionalkan bentuk akar kuadrat \( \frac{a}{a+\sqrt{b}} \)
- Merasionalkan bentuk akar kuadrat \( \frac{a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \)
➔ Secara umum merasionalkan penyebut bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan bentuk sekawannya.
🔢 I. Merasionalkan bentuk akar kuadrat \( \frac{a}{\sqrt{b}} \)
Bentuk \( \frac{a}{\sqrt{b}} \) dapat disederhanakan dengan cara:
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \]
🔢 II. Merasionalkan bentuk akar kuadrat \( \frac{a}{a+\sqrt{b}} \)
Bentuk \( \frac{a}{a+\sqrt{b}} \) dapat disederhanakan dengan cara:
\[ \frac{a}{a+\sqrt{b}} \times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} = \frac{a(a-\sqrt{b})}{a^2 - b} \]
🔢 III. Merasionalkan bentuk akar kuadrat \( \frac{a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \)
Bentuk \( \frac{a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \) dapat disederhanakan dengan cara:
\[ \frac{a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a - b} \]
Contoh Soal:
Rasionalkan pecahan bentuk akar berikut:
- \( \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \)
- \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \)
- \( \frac{2}{2+\sqrt{3}} = \frac{2}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{4-3} = 4 - 2\sqrt{3} \)
- \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{\sqrt{10}+2}{3} \)
📝 Latihan
Rasionalkan pecahan bentuk akar berikut:
- \( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{12}} = \)
- \( \frac{5}{\sqrt{5}-2} = \)
- \( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \)
- \( \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \)
- Pak Atan memiliki sebuah kolam renang berbentuk silinder di belakang rumahnya. Diameter kolam tersebut adalah \( \frac{14}{3} \) m dengan kedalaman 150√2 cm. Apabila Pak Atan ingin mengisi kolam tersebut sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan oleh Pak Atan? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan.
⬆️ Tulis jawabanmu di sini!