Menentukan Sumbu simetri dan Titik Optimum Kelas IX Semester 2 Hlm 108.

👨‍⚖️LATIHAN 10.2
Menentukan Sumbu simetri dan Titik Optimum Kelas IX Semester 2 hlm 108

1. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi di bawah ini.

a. $y = 2x² − 5x$
Pembahasan: a=2 ; b=-5; c=0
$\begin{align}
x_o&=-\frac{b}{2a}\\
&=-\frac{-5}{2.2}\\
&=\frac{5}{4}\\
&=1\frac{1}{4}
\end{align}$
Jadi, sumbu simetri $x=1\frac{1}{4}$

b. $y = 3x² + 12x$
Pembahasan: a=3; b=12; c=0

$\begin{aligned}
x_o&=-\frac{b}{2a}\\
&=-\frac{12}{2.3}\\
&=-\frac{12}{6}\\
&=-2
\end{aligned}$
Jadi, sumbu simetri $x=-2$

c. $y = –8x² − 16x − 1$
Pembahasan: a=-8; b=-16; c=-1
$\begin{aligned}
x_o&=-\frac{b}{2a}\\
&=-\frac{(-16)}{2.(-8)}\\
&=-\frac{16}{16}\\
&=-1
\end{aligned}$
Jadi, sumbu simetri $x=-1$

2. Tentukan nilai optimum fungsi berikut ini.

👉a. $y = –6x² + 24x − 19$
Pembahasan: a=-6; b=24; c=-19
Rumus : $y_o=-\frac{D}{4.a}$
$y_o=-\frac{b^2-4ac}{4.a}$
$y_o=-\frac{24^2-4(-6)(-19)}{4.(-6)}$
$y_o=-\frac{(576-456)}{(-24)}$
$y_o=-\frac{120}{(-24)}$
$y_o= 5$

👉b. $y = \frac{2}{5}x² – 3x + 15$
Pembahasan: $a=\frac{2}{5}; b=-3; c=15$
$\begin{aligned}
y = \frac{2}{5}x^2 – 3x + 15\\
a=\frac{2}{5} ;~ b=-3; ~c=15\\
y_o&=-\frac{D}{4.a}\\
y_o&=-\frac{b^2-4.a.c}{4.a}\\
y_o&=-\frac{(-3)^2-4.(\frac{2}{5}).15}{4.(\frac{2}{5})}\\
y_o&=-\frac{9-24}{\frac{8}{5}}\\
y_o&=-(-15)\times \frac{5}{8}\\
y_o&=\frac{75}{8} \Leftrightarrow y_o=9\frac{3}{8}
\end{aligned}$

👉c. $y = − \frac{3}{4}x² + 7x − 18$

Menentukan Nilai Optimum Fungsi Kuadrat: $ y = -\frac{3}{4}x^2 + 7x - 18 $

Dalam matematika, nilai optimum fungsi kuadrat adalah nilai maksimum atau minimum yang dicapai pada titik puncak parabola. Untuk fungsi $ y = -\frac{3}{4}x^2 + 7x - 18 $, mari kita cari nilai optimumnya dengan langkah-langkah sistematis.

Langkah 1: Identifikasi Bentuk Fungsi Kuadrat

Fungsi yang diberikan adalah $y = -\frac{3}{4}x^2 + 7x - 18 $, yang merupakan fungsi kuadrat dalam bentuk umum $ y = ax^2 + bx + c $. Dari fungsi ini, kita dapat mengidentifikasi:

$ a = -\frac{3}{4} $
$ b = 7 $
$ c = -18 $

Koefisien $a = -\frac{3}{4} $ bernilai negatif, yang berarti parabola terbuka ke bawah. Dengan demikian, titik puncaknya adalah titik maksimum, dan nilai optimum yang kita cari adalah nilai $ y $) maksimum.

Langkah 2: Menentukan Koordinat ( x ) Titik Puncak

Titik puncak fungsi kuadrat dapat ditemukan dengan rumus: $x = -\dfrac{b}{2a}$
Substitusi nilai $ a = -\frac{3}{4} $ dan $ b = 7$:
$x = -\frac{7}{2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = -\frac{7}{-\frac{3}{2}} = 7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$
Jadi, koordinat ( x ) dari titik puncak adalah $ x = \frac{14}{3}$.

Langkah 3: Menghitung Nilai ( y ) pada Titik Puncak

Untuk menemukan nilai ($ y $), substitusi $( x = \frac{14}{3} $ ke dalam fungsi $ y = -\frac{3}{4}x^2 + 7x - 18 )$:

$y = -\frac{3}{4} \left( \frac{14}{3} \right)^2 + 7 \left( \frac{14}{3} \right) - 18$
Hitung setiap suku secara bertahap:

Suku pertama: $ -\frac{3}{4} \left( \frac{14}{3} \right)^2 $
$\left( \frac{14}{3} \right)^2 = \frac{196}{9}$
$-\frac{3}{4} \cdot \frac{196}{9} = -\frac{3 \cdot 196}{4 \cdot 9} = -\frac{588}{36} = -\frac{49}{3}$
Suku kedua: $ 7 \left( \frac{14}{3} \right) $
$7 \cdot \frac{14}{3} = \frac{98}{3}$
Suku ketiga: ( -18 ), yang dapat ditulis sebagai $ -\frac{54}{3} $ untuk memudahkan perhitungan.

Sekarang jumlahkan semua suku:
$y = -\frac{49}{3} + \frac{98}{3} - \frac{54}{3} = \frac{-49 + 98 - 54}{3} = \frac{95 - 54}{3} = \frac{41}{3}$
Jadi, nilai ( y ) pada titik puncak adalah $ \frac{41}{3} $.

Langkah 4: Menentukan Nilai Optimum

Karena parabola terbuka ke bawah (koefisien ( a < 0 )), titik puncak adalah titik maksimum. Oleh karena itu, nilai optimum fungsi adalah maksimum dengan nilai:
$y = \frac{41}{3} \approx 13.6667$
Koordinat titik puncaknya adalah $ \left( \frac{14}{3}, \frac{41}{3} \right) $.

Kesimpulan

Nilai optimum dari fungsi $y = -\frac{3}{4}x^2 + 7x - 18 $) adalah maksimum sebesar $\frac{41}{3} $ atau sekitar 13.6667, yang terjadi ketika $ x = \frac{14}{3} \approx 4.6667 $.

Dengan langkah-langkah ini, kita dapat dengan mudah menemukan nilai optimum fungsi kuadrat apa pun!

3. Sketsalah grafik fungsi berikut ini.
a. $y = 2x² + 9x$
menentukan titik potong terhadap sumbu $x$, jika $y=0$
$2x^2+9x=x(2x+9)$
$x=0$ dan $2x+9=0$ $2x=-9$ $x=-\frac{9}{2} ~atau ~x=-4,5$
Sumbu Simetri: $x_o = -\frac{b}{2.a} \Leftrightarrow x_o=-\frac{9}{2.2}$ $x_o=-2\frac{1}{4}$
Titik optimum $y_o= -\frac{D}{4a} \Leftrightarrow y_o=-\frac{b^2-4a.c}{4a}$ $y_o=-\frac{9^2-0}{4.2}$ $y_o=-\frac{81}{8}$

b. $y = 8x² − 16x + 6$ Dengan cara seperti di atas, maka sketsa grafik sebagai berikut.

4. Diketahui suatu barisan 1, 7, 16, …. Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus $U = an² + bn + c$. Tentukan suku ke 100.

5. Diketahui suatu barisan $0, –9, –12, ....$ Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus $U = an^2 + bn + c$. Tentukan nilai minimum dari barisan tersebut.

6. Fungsi kuadrat $y = f(x)$ melalui titik $(3, –12)$ dan $(7, 36)$. Jika sumbu simetrinya $x = 3$, tentukan nilai minimum fungsi $f(x)$.

7. Bila fungsi $y = 2x^2 + 6x − m$ mempunyai nilai minimum 3 maka tentukan m.

8. Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N (dalam juta orang) dapat dimodelkan oleh persamaan $N = 17,4x^2 + 36,1x + 83,3$, dengan $x = 0$ merepresentasikan tahun 1995.

Pada tahun berapa, banyaknya pelanggan mencapai nilai maksimum?

9. Jumlah dua bilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang maksimum, tentukan kedua bilangan tersebut.

10. Selisih dua bilangan adalah 10. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang minimum, tentukan kedua bilangan tersebut.

🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:

📚 "Menentukan Sumbu simetri dan Titik Optimum Kelas IX Semester 2 Hlm 108.", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda.

"Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei