Pelajaran #1 Operasi pada Bilangan Rasional

📚 Operasi pada Bilangan Rasional

✨ Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana matematika dapat menyederhanakan perhitungan rumit menjadi sesuatu yang elegan dan mudah? Bilangan rasional, yang mencakup bilangan bulat dan pecahan, adalah dasar dari banyak operasi matematika yang kita gunakan sehari-hari. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia menarik dari operasi bilangan rasional – mulai dari aturan dasar hingga teknik cerdas yang akan membuat Anda takjub dengan keindahan matematika. Mari kita selami dan temukan bagaimana konsep-konsep ini tidak hanya berguna di kelas, tetapi juga dalam memecahkan masalah dunia nyata! 🧠

📝 Aturan Dasar Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian

⚖️ Hukum Komutatif:

\( a + b = b + a \quad ab = ba \)

🔄 Hukum Asosiatif:

\( a + b + c = a + (b + c) \quad (ab)c = a(bc) \)

📊 Hukum Distributif:

\( ac + bc = (a + b)c = c(a + b) \)

🔍 Aturan untuk Menghapus Tanda Kurung

Untuk semua bilangan rasional \( x, y \):

➖ (i) Penjumlahan:

\( x + (y) = x + y, \quad x + (-y) = x - y \)

➕ (ii) Pengurangan:

\( x - (y) = x - y, \quad x - (-y) = x + y \)

✖️ (iii) Perkalian:

\( x \times (-y) = -xy; \quad (-x) \times y = -xy; \quad (-x) \times (-y) = xy; \)

\( (-1)^n = -1 \text{ untuk } n \text{ ganjil}, \quad (-1)^n = 1 \text{ untuk } n \text{ genap} \)

➗ (iv) Pembagian (jika penyebut tidak nol):

\( \dfrac{x}{-y} = -\dfrac{x}{y}; \quad \dfrac{-x}{y} = -\dfrac{x}{y}; \quad \dfrac{-x}{-y} = \dfrac{x}{y} \)

🎯 Cara Cerdas untuk Menghitung

🔭 Membuat jumlah teleskopik:

\( \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \)

\( \dfrac{1}{k(k+m)} = \dfrac{1}{m} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+m} \right) \)

\( \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \right] \)

📐 Menggunakan rumus-rumus:

\( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \), dll.

📋 Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1

Evaluasi \( (-5)^2 \times \left( -\dfrac{1}{5} \right)^3 - 2^3 \div \left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 - (-1)^{1999} \)

Penyelesaian:

\[ \begin{aligned} & (-5)^2 \times \left( -\dfrac{1}{5} \right)^3 - 2^3 \div \left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 - (-1)^{1999} \\ &= 25 \times \left( -\dfrac{1}{125} \right) - 8 \div \dfrac{1}{4} - (-1) \\ &= -\dfrac{1}{5} - 32 + 1 = -31 - \dfrac{1}{5} = -31\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Contoh 2

Tentukan ekspresi dengan nilai maksimal dari lima ekspresi operasional berikut.

Penyelesaian:

Setelah mengevaluasi semua ekspresi:

(i) \( = 247 \) 👑

(ii) \( = -8 \)

(iii) \( = 242 \)

(iv) \( < 45 \)

(v) \( < 10 \)

Jadi, jawabannya adalah (A) (i)

Contoh 3

\( 123456789 \times 999999999 = \) ______

Penyelesaian:

\[ \begin{aligned} & 123456789 \times 999999999 \\ &= 123456789 \times (1000000000 - 1) \\ &= 123456789000000000 - 123456789 \\ &= 123456788876543211 \end{aligned} \]

Contoh 4

Nilai dari \( \dfrac{13579}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} \) adalah

Penyelesaian:

Menggunakan \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):

\[ \dfrac{13579}{(13579)^2 - (13579^2 - 1)} = \dfrac{13579}{1} = 13579 \]

Jawaban: (B) 13579

Contoh 5

\( \dfrac{83^2 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} = \) ______

Penyelesaian:

Menggunakan rumus \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \):

\[ \dfrac{(83 + 17)(83^2 - 83 \times 17 + 17^2)}{83 \times 66 + 17^2} = \dfrac{100 \times (83 \times 66 + 17^2)}{83 \times 66 + 17^2} = 100 \]

🤔 Refleksi Pembelajaran

💡 Memahami operasi pada bilangan rasional adalah fondasi penting dalam matematika. Materi ini mengajarkan kita bahwa:

• Penguasaan hukum dasar (komutatif, asosiatif, distributif) sangat penting untuk menyelesaikan masalah kompleks
• Pengenalan pola dan penggunaan rumus yang tepat dapat menyederhanakan perhitungan yang rumit
• Pemahaman tentang sifat-sifat bilangan negatif dan pecahan membantu menghindari kesalahan umum dalam perhitungan
• Teknik seperti penjumlahan teleskopik dapat mengubah deret yang tampaknya kompleks menjadi bentuk yang sederhana

🎓 Terus berlatih dengan variasi soal akan meningkatkan pemahaman dan kecepatan dalam menyelesaikan masalah matematika!