Formulasi Perkalian - Bahan Olimpiade
Olimpiade Matematika adalah sebuah kompetisi akademik yang bertujuan untuk mengukur dan mengasah kemampuan pelajar dalam matematika. Kompetisi ini diadakan di berbagai level, mulai dari sekolah, daerah, nasional, hingga internasional, dan membuka peluang bagi pelajar dari berbagai tingkatan usia untuk menunjukkan keahlian mereka.
Formulasi Perkalian - Bahan Olimpiade
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 26 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 90 \end{cases}$
Tentukan nilai $xyz$ dan $x^{4} + y^{4} + z^{4}$
$3a^{2} + 27b^{2} + 5c^{2} - 18ab - 30c + 237$
(A) positif; (B) negatif; (C) $0$; (D) bilangan bulat.
Xu Jiagu-Mathematical Olympiad Series — Vol. 6 LECTURE NOTES ON MATHEMATICAL OLYMPIAD COURSES For Junior Section
Perkuliahan 5: Formulasi Perkalian
Formulasi Perkalian Dasar
(1) $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$
(2) $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$
(3) $(a \pm b)(a^{2} \mp ab + b^{2}) = a^{3} \pm b^{3}$
Bukti:
$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}$
Gunakan $(-b)$ untuk menggantikan $b$ dalam rumus di atas, kita peroleh
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}$
Gunakan $(-b)$ untuk menggantikan $b$ dalam rumus di atas, kita peroleh
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
(4) $(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3a^{2}b + 3ab^{2} \pm b^{3}$
Bukti:
$(a+b)^{3} = (a+b) \cdot (a+b)^{2} = (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})$
$= a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
Gunakan $(-b)$ untuk menggantikan $b$ dalam rumus di atas, kita peroleh
$(a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
$(a+b)^{3} = (a+b) \cdot (a+b)^{2} = (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})$
$= a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
Gunakan $(-b)$ untuk menggantikan $b$ dalam rumus di atas, kita peroleh
$(a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
Formulasi Dasar Turunan
(1) $a^{2} + b^{2} = (a \pm b)^{2} \mp 2ab$
(2) $(a+b)^{2} - (a-b)^{2} = 4ab$
(3) $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b)^{3} \mp 3ab(a \pm b)$
(4) $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$
Bukti:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}) + c^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2} - 3abc$
$= (a+b)^{3} + c^{3} - 3ab(a+b+c)$
$= [(a+b) + c][(a+b)^{2} - (a+b)c + c^{2}] - 3ab(a+b+c)$
$= (a+b+c)(a^{2} + 2ab + b^{2} - ac - bc + c^{2}) - 3ab(a+b+c)$
$= (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab - bc - ca - 3ab)$
$= (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$
$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}) + c^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2} - 3abc$
$= (a+b)^{3} + c^{3} - 3ab(a+b+c)$
$= [(a+b) + c][(a+b)^{2} - (a+b)c + c^{2}] - 3ab(a+b+c)$
$= (a+b+c)(a^{2} + 2ab + b^{2} - ac - bc + c^{2}) - 3ab(a+b+c)$
$= (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab - bc - ca - 3ab)$
$= (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$
Contoh Soal
Contoh 1.
Evaluasi ekspresi $(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$ berulang kali, kita punya:
$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= (2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= (2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= (2^{4}-1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= \cdots = (2^{2^{10}}-1)(2^{2^{10}}+1)+1$
$= ((2^{2^{10}})^{2} - 1) + 1 = 2^{2 \cdot 2^{10}} = 2^{2^{11}} = 2^{2048}$
Dengan menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$ berulang kali, kita punya:
$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= (2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= (2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= (2^{4}-1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2^{10}}+1)+1$
$= \cdots = (2^{2^{10}}-1)(2^{2^{10}}+1)+1$
$= ((2^{2^{10}})^{2} - 1) + 1 = 2^{2 \cdot 2^{10}} = 2^{2^{11}} = 2^{2048}$
Contoh 2.
Sederhanakan ekspresi $(a^{6}-b^{6}) \div (a^{3}-b^{3}) \div (a^{2}-ab+b^{2})$
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus $A^{2}-B^{2} = (A-B)(A+B)$ dan $A^{3}+B^{3} = (A+B)(A^{2}-AB+B^{2})$,
$(a^{6}-b^{6}) \div (a^{3}-b^{3}) \div (a^{2}-ab+b^{2}) = \frac{a^{6}-b^{6}}{(a^{3}-b^{3})(a^{2}-ab+b^{2})}$
$= \frac{(a^{3}-b^{3})(a^{3}+b^{3})}{(a^{3}-b^{3})(a^{2}-ab+b^{2})} = \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}$
$= \frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}-ab+b^{2}} = a+b$
Dengan menggunakan rumus $A^{2}-B^{2} = (A-B)(A+B)$ dan $A^{3}+B^{3} = (A+B)(A^{2}-AB+B^{2})$,
$(a^{6}-b^{6}) \div (a^{3}-b^{3}) \div (a^{2}-ab+b^{2}) = \frac{a^{6}-b^{6}}{(a^{3}-b^{3})(a^{2}-ab+b^{2})}$
$= \frac{(a^{3}-b^{3})(a^{3}+b^{3})}{(a^{3}-b^{3})(a^{2}-ab+b^{2})} = \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}-ab+b^{2}}$
$= \frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}-ab+b^{2}} = a+b$
Contoh 3.
Diketahui $x-y=8$, $xy=-15$, tentukan nilai (i) $(x+y)^{2}$ dan (ii) $x^{4}+y^{4}$
Penyelesaian:
(i) $(x+y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = (x^{2} + y^{2} - 2xy) + 4xy = (x-y)^{2} + 4xy$
$= 8^{2} + 4(-15) = 4$
(ii) $x^{4} + y^{4} = (x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4}) - 2x^{2}y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2(xy)^{2}$
$= [(x^{2} - 2xy + y^{2}) + 2xy]^{2} - 2(-15)^{2}$
$= [(x-y)^{2} - 30]^{2} - 2(225) = 34^{2} - 450 = 1156 - 450 = 706$
(i) $(x+y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = (x^{2} + y^{2} - 2xy) + 4xy = (x-y)^{2} + 4xy$
$= 8^{2} + 4(-15) = 4$
(ii) $x^{4} + y^{4} = (x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4}) - 2x^{2}y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2(xy)^{2}$
$= [(x^{2} - 2xy + y^{2}) + 2xy]^{2} - 2(-15)^{2}$
$= [(x-y)^{2} - 30]^{2} - 2(225) = 34^{2} - 450 = 1156 - 450 = 706$
Contoh 4.
Diketahui $x + \frac{1}{x} = 3$, tentukan nilai (i) $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$; (ii) $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$
Penyelesaian:
(i) $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 1\right) = 3\left[\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} - 3\right]$
$= 3(3^{2} - 3) = 18$
(ii) $x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = \left[(x^{2})^{2} + 2 + \left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}\right] - 2 = \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} - 2$
$= \left[\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} - 2\right]^{2} - 2 = (3^{2} - 2)^{2} - 2 = 47$
(i) $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 1\right) = 3\left[\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} - 3\right]$
$= 3(3^{2} - 3) = 18$
(ii) $x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = \left[(x^{2})^{2} + 2 + \left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}\right] - 2 = \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} - 2$
$= \left[\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} - 2\right]^{2} - 2 = (3^{2} - 2)^{2} - 2 = 47$
Contoh 5.
Diketahui $x + y = \frac{5}{2}$, $x^{2} + y^{2} = \frac{13}{4}$, tentukan nilai $x^{5} + y^{5}$
Penyelesaian:
$(x^{2} + y^{2})(x^{3} + y^{3}) = (x^{5} + y^{5}) + (xy)^{2}(x + y)$ menyiratkan bahwa
$(x^{5} + y^{5}) = \frac{13}{4}(x + y)(x^{2} + y^{2} - xy) - \frac{5}{2}(xy)^{2} = \frac{65}{8}\left(\frac{13}{4} - xy\right) - \frac{5}{2}(xy)^{2}$
Cukup mencari nilai $xy$:
$xy = \frac{1}{2}[(x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2})] = \frac{1}{2}\left(\frac{25}{4} - \frac{13}{4}\right) = \frac{3}{2}$
Oleh karena itu:
$x^{5} + y^{5} = \frac{65}{8}\left(\frac{13}{4} - \frac{3}{2}\right) - \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{455 - 180}{32} = \frac{275}{32}$
$(x^{2} + y^{2})(x^{3} + y^{3}) = (x^{5} + y^{5}) + (xy)^{2}(x + y)$ menyiratkan bahwa
$(x^{5} + y^{5}) = \frac{13}{4}(x + y)(x^{2} + y^{2} - xy) - \frac{5}{2}(xy)^{2} = \frac{65}{8}\left(\frac{13}{4} - xy\right) - \frac{5}{2}(xy)^{2}$
Cukup mencari nilai $xy$:
$xy = \frac{1}{2}[(x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2})] = \frac{1}{2}\left(\frac{25}{4} - \frac{13}{4}\right) = \frac{3}{2}$
Oleh karena itu:
$x^{5} + y^{5} = \frac{65}{8}\left(\frac{13}{4} - \frac{3}{2}\right) - \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{455 - 180}{32} = \frac{275}{32}$
Contoh 6.
Diketahui bahwa bilangan real $x, y, z$ memenuhi sistem persamaan:$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 26 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 90 \end{cases}$
Tentukan nilai $xyz$ dan $x^{4} + y^{4} + z^{4}$
Penyelesaian:
$(x + y + z)^{2} = (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 2(xy + yz + zx)$ menyiratkan bahwa
$xy + yz + zx = \frac{1}{2}[(x + y + z)^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2})] = \frac{1}{2}[6^{2} - 26] = 5$
Karena $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = (x + y + z)[(x^{2} + y^{2} + z^{2} - (xy + yz + zx)]$,
$90 - 3xyz = 6[26 - 5] = 126$
$\therefore xyz = \frac{1}{3}(90 - 126) = -12$
Selanjutnya, dengan melengkapi kuadrat:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 2(x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2})$
$= 26^{2} - 2[(xy + yz + zx)^{2} - 2(xy^{2}z + yz^{2}x + x^{2}yz)]$
$= 26^{2} - 2[5^{2} - 2xyz(x + y + z)]$
$= 26^{2} - 2(25 + 24 \cdot 6) = 676 - 338 = 338$
$(x + y + z)^{2} = (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 2(xy + yz + zx)$ menyiratkan bahwa
$xy + yz + zx = \frac{1}{2}[(x + y + z)^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2})] = \frac{1}{2}[6^{2} - 26] = 5$
Karena $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = (x + y + z)[(x^{2} + y^{2} + z^{2} - (xy + yz + zx)]$,
$90 - 3xyz = 6[26 - 5] = 126$
$\therefore xyz = \frac{1}{3}(90 - 126) = -12$
Selanjutnya, dengan melengkapi kuadrat:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 2(x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2})$
$= 26^{2} - 2[(xy + yz + zx)^{2} - 2(xy^{2}z + yz^{2}x + x^{2}yz)]$
$= 26^{2} - 2[5^{2} - 2xyz(x + y + z)]$
$= 26^{2} - 2(25 + 24 \cdot 6) = 676 - 338 = 338$
Contoh 7.
(SSSMO/2000) Untuk sembarang bilangan real $a, b$ dan $c$, tentukan nilai terkecil yang mungkin dari ekspresi berikut:$3a^{2} + 27b^{2} + 5c^{2} - 18ab - 30c + 237$
Penyelesaian:
Dengan melengkapi kuadrat:
$3a^{2} + 27b^{2} + 5c^{2} - 18ab - 30c + 237$
$= (3a^{2} - 18ab + 27b^{2}) + (5c^{2} - 30c + 45) + 192$
$= 3(a^{2} - 6ab + 9b^{2}) + 5(c^{2} - 6c + 9) + 192$
$= 3(a - 3b)^{2} + 5(c - 3)^{2} + 192 \geq 192$
Nilai $192$ dapat dicapai ketika $a = 3b, c = 3$. Dengan demikian, nilai terkecil yang mungkin dari ekspresi yang diberikan adalah $192$.
Dengan melengkapi kuadrat:
$3a^{2} + 27b^{2} + 5c^{2} - 18ab - 30c + 237$
$= (3a^{2} - 18ab + 27b^{2}) + (5c^{2} - 30c + 45) + 192$
$= 3(a^{2} - 6ab + 9b^{2}) + 5(c^{2} - 6c + 9) + 192$
$= 3(a - 3b)^{2} + 5(c - 3)^{2} + 192 \geq 192$
Nilai $192$ dapat dicapai ketika $a = 3b, c = 3$. Dengan demikian, nilai terkecil yang mungkin dari ekspresi yang diberikan adalah $192$.
Catatan: Teknik melengkapi kuadrat adalah alat penting untuk menyelidiki nilai ekstrem dari polinomial kuadrat, berikut adalah contohnya.
Contoh 8.
Jika $a, b, c, d > 0$ dan $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = 4abcd$, buktikan bahwa $a = b = c = d$
Penyelesaian:
Kita tulis ulang persamaan yang diberikan dalam bentuk $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} - 4abcd = 0$, dan gunakan teknik melengkapi kuadrat, maka:
$0 = a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} - 4abcd$
$= (a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}) + (c^{4} - 2c^{2}d^{2} + d^{4}) + (2a^{2}b^{2} + 2c^{2}d^{2} - 4abcd)$
$= (a^{2} - b^{2})^{2} + (c^{2} - d^{2})^{2} + 2(ab - cd)^{2}$
Oleh karena itu $a^{2} - b^{2} = 0, c^{2} - d^{2} = 0, ab - cd = 0$. Karena $a, b, c, d > 0$, maka $a = b, c = d$, dan $a^{2} = c^{2}$, yaitu $a = c$. Dengan demikian $a = b = c = d$.
Kita tulis ulang persamaan yang diberikan dalam bentuk $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} - 4abcd = 0$, dan gunakan teknik melengkapi kuadrat, maka:
$0 = a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} - 4abcd$
$= (a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}) + (c^{4} - 2c^{2}d^{2} + d^{4}) + (2a^{2}b^{2} + 2c^{2}d^{2} - 4abcd)$
$= (a^{2} - b^{2})^{2} + (c^{2} - d^{2})^{2} + 2(ab - cd)^{2}$
Oleh karena itu $a^{2} - b^{2} = 0, c^{2} - d^{2} = 0, ab - cd = 0$. Karena $a, b, c, d > 0$, maka $a = b, c = d$, dan $a^{2} = c^{2}$, yaitu $a = c$. Dengan demikian $a = b = c = d$.
Contoh 9.
Diketahui $a + b = c + d$ dan $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$. Buktikan bahwa $a^{2009} + b^{2009} = c^{2009} + d^{2009}$
Penyelesaian:
$a + b = c + d$ menghasilkan $(a + b)^{3} = (c + d)^{3}$, oleh karena itu:
$a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = c^{3} + 3c^{2}d + 3cd^{2} + d^{3}$
$\therefore a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$
$\therefore 3a^{2}b + 3ab^{2} = 3c^{2}d + 3cd^{2}$, yaitu $3ab(a + b) = 3cd(c + d)$
Jika $a + b = c + d = 0$, maka $b = -a, d = -c$, oleh karena itu:
$a^{2009} + b^{2009} = 0 = c^{2009} + d^{2009}$
Jika $a + b = c + d \neq 0$, maka $ab = cd$, oleh karena itu:
$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab = (c + d)^{2} - 4cd = (c - d)^{2}$
(i) Ketika $a - b = c - d$, dengan mempertimbangkan $a + b = c + d$, maka $2a = 2c$, yaitu $a = c$, dan $b = d$ juga.
(ii) Ketika $a - b = -(c - d)$, dengan mempertimbangkan $a + b = c + d$, maka $2a = 2d$, yaitu $a = d$, dan $b = c$ juga.
Kesimpulannya benar dalam masing-masing dari dua kasus.
$a + b = c + d$ menghasilkan $(a + b)^{3} = (c + d)^{3}$, oleh karena itu:
$a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} = c^{3} + 3c^{2}d + 3cd^{2} + d^{3}$
$\therefore a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$
$\therefore 3a^{2}b + 3ab^{2} = 3c^{2}d + 3cd^{2}$, yaitu $3ab(a + b) = 3cd(c + d)$
Jika $a + b = c + d = 0$, maka $b = -a, d = -c$, oleh karena itu:
$a^{2009} + b^{2009} = 0 = c^{2009} + d^{2009}$
Jika $a + b = c + d \neq 0$, maka $ab = cd$, oleh karena itu:
$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab = (c + d)^{2} - 4cd = (c - d)^{2}$
(i) Ketika $a - b = c - d$, dengan mempertimbangkan $a + b = c + d$, maka $2a = 2c$, yaitu $a = c$, dan $b = d$ juga.
(ii) Ketika $a - b = -(c - d)$, dengan mempertimbangkan $a + b = c + d$, maka $2a = 2d$, yaitu $a = d$, dan $b = c$ juga.
Kesimpulannya benar dalam masing-masing dari dua kasus.
Soal Latihan (A)
1.
(SSSMO/1998) Misalkan $a, b$ adalah dua bilangan sehingga $a^{2} + b^{2} + 8a - 14b + 65 = 0$. Tentukan nilai $a^{2} + ab + b^{2}$.
2.
Diketahui $a - b = 2, b - c = 4$, tentukan nilai $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$.
3.
Untuk bilangan bulat $a, b, c$ dan $d$, tulis ulang ekspresi $(a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2})$ sebagai jumlah kuadrat dari dua bilangan bulat.
4.
Diketahui $14(a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (a + 2b + 3c)^{2}$, tentukan rasio $a : b : c$.
5.
Diketahui $\dfrac{x}{x^{2} + 3x + 1} = a$ ($a \neq 0$), tentukan nilai $\dfrac{x^{2}}{x^{4} + 3x^{2} + 1}$.
6.
Diketahui $x + \dfrac{1}{x} = a$, tentukan nilai $x^{6} + \dfrac{1}{x^{6}}$ dalam bentuk $a$.
7.
Diketahui bahwa $a, b, c, d \neq 0$, dan $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = 4abcd$. Buktikan bahwa $a^{2} = b^{2} = c^{2} = d^{2}$.
8.
Diketahui $a + b + c + d = 0$, buktikan bahwa $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = 3(abc + bcd + cda + dab)$.
9.
Diketahui bahwa $(a - 2)^{3} + (b - 2)^{3} + (c - 2)^{3} = 0$, $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6$, $a + b + c = 2$, buktikan bahwa setidaknya satu dari $a, b, c$ adalah $2$.
10.
Diketahui bahwa $a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a + b + c)^{3}$, buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli $n$, $a^{2n+1} + b^{2n+1} + c^{2n+1} = (a + b + c)^{2n+1}$.
Soal Latihan (B)
1.
(CHNMOL/2005) Jika $M = 3x^{2} - 8xy + 9y^{2} - 4x + 6y + 13$ (di mana $x, y$ adalah bilangan real), maka $M$ harus(A) positif; (B) negatif; (C) $0$; (D) bilangan bulat.
2.
Diketahui $a + b = c + d$ dan $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$. Buktikan bahwa $a^{2009} + b^{2009} = c^{2009} + d^{2009}$.
3.
Jika $a + b + c = 0$, buktikan bahwa $2(a^{4} + b^{4} + c^{4}) = (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}$.
4.
Jika $a + b = 1$, $a^{2} + b^{2} = 2$, tentukan nilai $a^{7} + b^{7}$.
5.
(CHNMOL/2004) Diketahui bahwa bilangan real $a, b$ memenuhi $a^{3} + b^{3} + 3ab = 1$, tentukan $a + b$.
🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
📚 "Formulasi Perkalian - Bahan Olimpiade", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei
