Menentukan Sumbu simetri dan Titik Optimum Kelas IX hlm 102-103

Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum Fungsi Kuadrat

Halo, pembelajar! Kali ini kita akan membahas salah satu materi inti dari fungsi kuadrat, yaitu cara menemukan sumbu simetri dan titik optimum (nilai maksimum atau minimum) dari sebuah grafik parabola. Kedua konsep ini sangat penting untuk menggambar sketsa grafik dan menyelesaikan masalah optimasi.

Sebelum mulai, ingat-ingat lagi bentuk umum fungsi kuadrat: $y = ax^2 + bx + c$

• Sumbu Simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Rumusnya adalah:
  $x = -\frac{b}{2a}$

• Titik Optimum adalah titik puncak parabola. Jika $a > 0$, titik ini adalah titik minimum. Jika $a < 0$, titik ini adalah titik maksimum. Koordinat titik puncaknya adalah $(x_o, y_o)$, dimana:

  • $x_o = -\frac{b}{2a}$ (sama dengan sumbu simetri)

  • $y_o = -\frac{D}{4a}$ atau $y_o = f(x_o)$

  • $D$ adalah Diskriminan, yaitu $D = b^2 - 4ac$

Yuk, kita langsung praktikkan dengan soal-soal berikut!

---

1. Tentukan Sumbu Simetri Grafik Fungsi Di Bawah Ini

a. $y = 2x^2 − 5x$

Pembahasan:
Dari fungsi, kita identifikasi nilainya: $a = 2$, $b = -5$, $c = 0$.
Sumbu simetri dicari dengan rumus:
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\
&= -\frac{(-5)}{2 \cdot 2} \\
&= \frac{5}{4} \\
&= 1\frac{1}{4}
\end{aligned}

Jadi, sumbu simetrinya adalah $x = 1\frac{1}{4}$.

b. $y = 3x^2 + 12x$

Pembahasan:
$a = 3$, $b = 12$, $c = 0$.
$\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\
&= -\frac{12}{2 \cdot 3} \\
&= -\frac{12}{6} \\
&= -2
\end{aligned}$

Jadi, sumbu simetrinya adalah $x = -2$.

c. $y = –8x^2 − 16x − 1$

Pembahasan:
$a = -8$, $b = -16$, $c = -1$.
$\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\
&= -\frac{(-16)}{2 \cdot (-8)} \\
&= -\frac{16}{-16} \\
&= -1
\end{aligned}$
Perhatikan perhitungannya ya!
Jadi, sumbu simetrinya adalah $x = -1$.

---

2. Tentukan Nilai Optimum Fungsi Berikut Ini

a. $y = –6x^2 + 24x − 19$

Pembahasan:
$a = -6$ (karena $a < 0$, maka ini adalah nilai maksimum), $b = 24$, $c = -19$.
Kita gunakan rumus nilai optimum:
$\begin{aligned}
y_o &= -\frac{D}{4a} \\
&= -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
&= -\frac{(24)^2 - 4(-6)(-19)}{4 \cdot (-6)} \\
&= -\frac{576 - 456}{-24} \\
&= -\frac{120}{-24} \\
&= 5
\end{aligned}$

Jadi, nilai optimum (maksimum)nya adalah $y_o = 5$.

b. $y = \frac{2}{5}x^2 – 3x + 15$

Pembahasan:
$a = \frac{2}{5}$ (nilai minimum), $b = -3$, $c = 15$.
$\begin{aligned}
y_o &= -\frac{D}{4a} \\
&= -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
&= -\frac{(-3)^2 - 4 \cdot \frac{2}{5} \cdot 15}{4 \cdot \frac{2}{5}} \\
&= -\frac{9 - 24}{\frac{8}{5}} \quad \text{(ingat, 4 × ²/₅ × 15 = 24)} \\
&= -\frac{(-15)}{\frac{8}{5}} \\
&= 15 \times \frac{5}{8} \\
&= \frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}
\end{aligned}$

Jadi, nilai optimum (minimum)nya adalah $9\frac{3}{8}$.

---

3. Sketsa Grafik Fungsi

a. $y = 2x^2 + 9x$

Langkah-langkah membuat sketsa:

1. Titik Potong Sumbu X (y=0):
   $\begin{aligned}
   2x^2 + 9x &= 0 \\
   x(2x + 9) &= 0
   \end{aligned}$
   Diperoleh $x = 0$ atau $x = -\frac{9}{2} = -4,5$.
   Jadi, titik potongnya di $(0, 0)$ dan $(-4.5, 0)$.

2. Sumbu Simetri:
   $x_o = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{2 \cdot 2} = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4}$

3. Titik Optimum (Puncak):
   $y_o = -\frac{D}{4a} = -\frac{(9)^2 - 4(2)(0)}{4 \cdot 2} = -\frac{81}{8}$
   Jadi, titik puncaknya berada di $(-2\frac{1}{4}, -\frac{81}{8})$ atau $(-2.25, -10.125)$.

Dengan tiga informasi ini (titik potong X, sumbu simetri, dan titik puncak), kita sudah bisa menggambar sketsa parabola yang terbuka ke atas (karena $a=2>0$).

---

Kesimpulan

Mencari sumbu simetri dan titik optimum adalah langkah fundamental dalam menganalisis fungsi kuadrat. Dengan menguasai rumus $x = -\frac{b}{2a}$ dan $y = -\frac{D}{4a}$, kita dapat dengan mudah menemukan titik puncak parabola dan menggambarkan grafiknya secara kasar.

Semoga penjelasan ini mudah dipahami! Ada pertanyaan? Silahkan tulis di kolom komentar ya.

Untuk melanjutkan latihan, coba selesaikan soal-soal berikut:
4. Diketahui suatu barisan 1, 7, 16, …. Suku ke-n dihitung dengan $U_n = an^2 + bn + c$. Tentukan suku ke-100!
5. Diketahui barisan $0, –9, –12, ....$ dengan rumus $U_n = an^2 + bn + c$. Tentukan nilai minimum barisan tersebut!
6. Fungsi kuadrat $y = f(x)$ melalui $(3, –12)$ dan $(7, 36)$. Jika sumbu simetrinya $x = 3$, tentukan nilai minimumnya!
7. Jika fungsi $y = 2x^2 + 6x − m$ mempunyai nilai minimum 3, berapakah nilai $m$?
8. Banyak pelanggan telepon (dalam juta) dimodelkan oleh $N = 17,4x^2 + 36,1x + 83,3$ ($x=0$ untuk 1995). Kapan banyak pelanggan maksimum?
9. Jumlah dua bilangan adalah 30. Berapa masing-masing bilangan agar hasil kalinya maksimum?
10. Selisih dua bilangan adalah 10. Berapa masing-masing bilangan agar hasil kalinya minimum?

Selamat berlatih!

🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:

📚 " Menentukan Sumbu simetri dan Titik Optimum Kelas IX hlm 102-103", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda.

"Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei

💬 Beri Komentar 🏠 Home