Operasi Bilangan Rasional - Olympiad Courses
Olimpiade Matematika adalah sebuah kompetisi akademik yang bertujuan untuk mengukur dan mengasah kemampuan pelajar dalam matematika. Kompetisi ini diadakan di berbagai level, mulai dari sekolah, daerah, nasional, hingga internasional, dan membuka peluang bagi pelajar dari berbagai tingkatan usia untuk menunjukkan keahlian mereka.
Operasi Bilangan Rasional - Bahan Olimpiade
(i) $(2\times 3\times 5\times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)$;
(ii) $(-0.125)^{7}\cdot 8^{8}$;
(iii) $(-11)+(-33)-(-55)-(-66)-(-77)-(-88)$;
(iv) $\left(-\frac{75}{13}\right)^{2}+\left(\frac{37}{13}\right)^{2}$;
(v) $\left[\left(-\frac{6}{7}\right)^{7}+\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{9}\right)\times\frac{16}{81}\right]\times\left(9\frac{246}{247}-0.666\right)$.
Maka ekspresi dengan nilai maksimal adalah
(A) (i), (B) (iii), (C) (iv), (D) (v).
(A) 1, (B) $13579$, (C) $-1$, (D) $-13578$.
$\dfrac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdot\cdots\cdot(100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)\cdot\cdots\cdot(99\times 102+2)}$
(A) $(a-b)^{2}<(a+b)^{2}$; (B) $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}$;
(C) $(a-b)^{2}>(a+b)^{2}$; (D) tidak dapat ditentukan.
(A) $\frac{1}{a}<-a^{4}
(B) $a<\frac{1}{a}<-a^{4}
(C) $\frac{1}{a}
(D) $\frac{1}{a}
Penyelesaian: Dari $-1a^{3}$ dan $-\frac{1}{a}>-a^{3}$ dan $a^{4}>-a^{4}$,
$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2009}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$
$-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2009}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$.
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3}+\dfrac{2}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n}+\cdots+\dfrac{n}{n}+\dfrac{n-1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.
$1-\dfrac{2}{1\cdot(1+2)}-\dfrac{3}{(1+2)(1+2+3)}-\dfrac{4}{(1+2+3)(1+2+3+4)}$
$-\cdots-\dfrac{100}{(1+2+\cdots+99)(1+2+\cdots+100)}$
adalah pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Tentukan selisih antara penyebut dan pembilangnya.
$\dfrac{1}{1+1^{2}+1^{4}}+\dfrac{2}{1+2^{2}+2^{4}}+\dfrac{3}{1+3^{2}+3^{4}}+\cdots+\dfrac{50}{1+50^{2}+50^{4}}$.
$\dfrac{1^{2}}{1^{2}-10+50}+\dfrac{2^{2}}{2^{2}-20+50}+\cdots+\dfrac{80^{2}}{80^{2}-80+50}$.
Xu Jiagu-Mathematical Olympiad Series — Vol. 6 LECTURE NOTES ON MATHEMATICAL OLYMPIAD COURSES For Junior Section
Perkuliahan 1: Operasi Bilangan Rasional
1. Aturan Dasar Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian
Hukum Komutatif: $a+b=b+a$ $ab=ba$
Hukum Asosiatif: $a+b+c=a+(b+c)$ $(ab)c=a(bc)$
Hukum Distributif: $ac+bc=(a+b)c=c(a+b)$
2. Aturan untuk Menghilangkan Tanda Kurung
Untuk sembarang bilangan rasional $x,y$,
(i) $x+(y)=x+y$, $x+(-y)=x-y$;
(ii) $x-(y)=x-y$, $x-(-y)=x+y$;
(iii) $x\times(-y)=-xy$; $(-x)\times y=-xy$; $(-x)\times(-y)=xy$;
$(-1)^{n}=-1$ untuk $n$ ganjil, $(-1)^{n}=1$ untuk $n$ genap.
$(-1)^{n}=-1$ untuk $n$ ganjil, $(-1)^{n}=1$ untuk $n$ genap.
(iv) Jika penyebut dari ekspresi berikut semuanya tidak nol,
maka $\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}$; $\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}$; $\frac{-x}{-y}=\frac{x}{y}$.
maka $\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}$; $\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}$; $\frac{-x}{-y}=\frac{x}{y}$.
3. Cara-cara Cerdas untuk Menghitung
* Membuat jumlah teleskopik dengan menggunakan ekspresi berikut:
$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$,
$\frac{1}{k(k+m)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+m}\right)$,
$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right]$.
$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$,
$\frac{1}{k(k+m)}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+m}\right)$,
$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right]$.
* Dengan menggunakan rumus-rumus berikut:
$(a\pm b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$;
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$;
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$;
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$, dll.
$(a\pm b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$;
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$;
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$;
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$, dll.
Contoh Soal
Contoh 1.
Evaluasi $(-5)^{2}\times\left(-\frac{1}{5}\right)^{3}-2^{3}\div\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-(-1)^{1999}$
Penyelesaian:
$(-5)^{2}\times\left(-\frac{1}{5}\right)^{3}-2^{3}\div\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-(-1)^{1999}$
$=5^{2}\times\left(-\frac{1}{125}\right)-8\div\frac{1}{4}-(-1)$
$=-\frac{1}{5}-8\times 4+1=-\frac{1}{5}-31=-31\frac{1}{5}$
$(-5)^{2}\times\left(-\frac{1}{5}\right)^{3}-2^{3}\div\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-(-1)^{1999}$
$=5^{2}\times\left(-\frac{1}{125}\right)-8\div\frac{1}{4}-(-1)$
$=-\frac{1}{5}-8\times 4+1=-\frac{1}{5}-31=-31\frac{1}{5}$
Contoh 2.
Ada lima ekspresi operasional di bawah ini:(i) $(2\times 3\times 5\times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)$;
(ii) $(-0.125)^{7}\cdot 8^{8}$;
(iii) $(-11)+(-33)-(-55)-(-66)-(-77)-(-88)$;
(iv) $\left(-\frac{75}{13}\right)^{2}+\left(\frac{37}{13}\right)^{2}$;
(v) $\left[\left(-\frac{6}{7}\right)^{7}+\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{9}\right)\times\frac{16}{81}\right]\times\left(9\frac{246}{247}-0.666\right)$.
Maka ekspresi dengan nilai maksimal adalah
(A) (i), (B) (iii), (C) (iv), (D) (v).
Penyelesaian:
(i) $(2\times 3\times 5\times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)$
$=105+70+42+30=247$;
(ii) $(-0.125)^{7}\cdot 8^{8}=-(0.125\times 8)^{7}\times 8=-8$;
(iii) $(-11)+(-33)-(-55)-(-66)-(-77)-(-88)$
$=-11-33+55+66+77+88=11\times 22=242$;
(iv) $\left(-\frac{75}{13}\right)^{2}+\left(\frac{37}{13}\right)^{2}<6^{2}+3^{2}=45$;
(v) $\left[\left(-\frac{6}{7}\right)^{7}+\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{9}\right)\times\frac{16}{81}\right]\times\left(9\frac{246}{247}-0.666\right)$
$<1\times 10=10$;
(i) $(2\times 3\times 5\times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)$
$=105+70+42+30=247$;
(ii) $(-0.125)^{7}\cdot 8^{8}=-(0.125\times 8)^{7}\times 8=-8$;
(iii) $(-11)+(-33)-(-55)-(-66)-(-77)-(-88)$
$=-11-33+55+66+77+88=11\times 22=242$;
(iv) $\left(-\frac{75}{13}\right)^{2}+\left(\frac{37}{13}\right)^{2}<6^{2}+3^{2}=45$;
(v) $\left[\left(-\frac{6}{7}\right)^{7}+\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{9}\right)\times\frac{16}{81}\right]\times\left(9\frac{246}{247}-0.666\right)$
$<1\times 10=10$;
Jadi, jawabannya adalah (A).
Contoh 3.
$123456789\times 999999999=$ __
Penyelesaian:
$123456789\times 999999999=123456789\times(1000000000-1)$
$=1234567890000000000-123456789=123456788876543211$
$123456789\times 999999999=123456789\times(1000000000-1)$
$=1234567890000000000-123456789=123456788876543211$
Contoh 4.
Nilai dari $\dfrac{13579}{(-13579)^{2}+(-13578)(13580)}$ adalah(A) 1, (B) $13579$, (C) $-1$, (D) $-13578$.
Penyelesaian: Dengan menggunakan $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$, kita punya
$\dfrac{13579}{(-13579)^{2}+(-13578)(13580)}$
$=\dfrac{13579}{(13579)^{2}-(13579^{2}-1)}=13579$.
$\dfrac{13579}{(-13579)^{2}+(-13578)(13580)}$
$=\dfrac{13579}{(13579)^{2}-(13579^{2}-1)}=13579$.
Jawabannya adalah (B).
Contoh 5.
$\dfrac{83^{2}+17^{3}}{83\times 66+17^{2}}=$ __
Penyelesaian: Dengan menggunakan rumus $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$,
$\dfrac{83^{2}+17^{3}}{83\times 66+17^{2}} = \dfrac{(83+17)(83^{2}-83\times 17+17^{2})}{83\times 66+17^{2}}$
$= \dfrac{100\times(83\times 66+17^{2})}{83\times 66+17^{2}}=100$
$\dfrac{83^{2}+17^{3}}{83\times 66+17^{2}} = \dfrac{(83+17)(83^{2}-83\times 17+17^{2})}{83\times 66+17^{2}}$
$= \dfrac{100\times(83\times 66+17^{2})}{83\times 66+17^{2}}=100$
Contoh 6.
Evaluasi$\dfrac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdot\cdots\cdot(100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)\cdot\cdots\cdot(99\times 102+2)}$
Penyelesaian: Dari $n(n+3)+2=n^{2}+3n+2=(n+1)(n+2)$ untuk sembarang bilangan bulat $n$, kita punya
$\dfrac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdot\cdots\cdot(100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)\cdot\cdots\cdot(99\times 102+2)}$
$=\dfrac{(5\times 6)(7\times 8)(9\times 10)\cdot\cdots\cdot(101\times 102)}{(6\times 7)(8\times 9)(10\times 11)\cdot\cdots\cdot(100\times 101)}$
$=5\times 102=510$
$\dfrac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdot\cdots\cdot(100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)\cdot\cdots\cdot(99\times 102+2)}$
$=\dfrac{(5\times 6)(7\times 8)(9\times 10)\cdot\cdots\cdot(101\times 102)}{(6\times 7)(8\times 9)(10\times 11)\cdot\cdots\cdot(100\times 101)}$
$=5\times 102=510$
Contoh 7.
$\dfrac{20092008^{2}}{20092007^{2}+20092009^{2}-2}=$ __
Penyelesaian:
$\dfrac{20092008^{2}}{20092007^{2}+20092009^{2}-2}$
$=\dfrac{20092008^{2}}{(20092007^{2}-1)+(20092009^{2}-1)}$
$=\dfrac{20092008^{2}}{(20092006)(20092008)+(20092008)(20092010)}$
$=\dfrac{20092008^{2}}{(20092008)(20092006+20092010)}=\dfrac{20092008^{2}}{2(20092008^{2})}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{20092008^{2}}{20092007^{2}+20092009^{2}-2}$
$=\dfrac{20092008^{2}}{(20092007^{2}-1)+(20092009^{2}-1)}$
$=\dfrac{20092008^{2}}{(20092006)(20092008)+(20092008)(20092010)}$
$=\dfrac{20092008^{2}}{(20092008)(20092006+20092010)}=\dfrac{20092008^{2}}{2(20092008^{2})}=\dfrac{1}{2}$
Contoh 8.
$3-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}=$ __
Penyelesaian:
$3-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\right)$
$=3-\left(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{7\times 8}\right)$
$=3-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)\right]$
$=3-\left(1-\frac{1}{8}\right)=2\frac{1}{8}$
$3-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\right)$
$=3-\left(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{7\times 8}\right)$
$=3-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)\right]$
$=3-\left(1-\frac{1}{8}\right)=2\frac{1}{8}$
Contoh 9.
Evaluasi $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}$
Penyelesaian:
Karena $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$ untuk sembarang bilangan bulat positif $k$, maka
$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}$
$=\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{9\times 11}+\frac{1}{11\times 13}$
$=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}\times\left[1-\frac{1}{13}\right]=\frac{6}{13}$
Karena $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$ untuk sembarang bilangan bulat positif $k$, maka
$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}$
$=\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{9\times 11}+\frac{1}{11\times 13}$
$=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}\times\left[1-\frac{1}{13}\right]=\frac{6}{13}$
Contoh 10.
Jika $ab<0$, maka hubungan ukuran antara $(a-b)^{2}$ dan $(a+b)^{2}$ adalah(A) $(a-b)^{2}<(a+b)^{2}$; (B) $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}$;
(C) $(a-b)^{2}>(a+b)^{2}$; (D) tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian: Dari $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab>(a+b)^{2}$,
jawabannya adalah (C).
Contoh 11.
Jika $-1(A) $\frac{1}{a}<-a^{4}
jawabannya adalah (C).
Soal Latihan (A)
1.
Evaluasi $-1-(-1)^{1}-(-1)^{2}-(-1)^{3}-\cdots-(-1)^{99}-(-1)^{100}$.
2.
Evaluasi $2008\times 20092009-2009\times 20082008$.
3.
Dari $2009$ kurangi setengahnya pada awalnya, kemudian kurangi $\frac{1}{3}$ dari bilangan yang tersisa, selanjutnya kurangi $\frac{1}{4}$ dari bilangan yang tersisa, dan seterusnya, hingga $\frac{1}{2009}$ dari bilangan yang tersisa dikurangi. Berapakah bilangan akhir yang tersisa?
4.
Tentukan jumlah $\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{9\times 11}+\frac{1}{11\times 13}+\frac{1}{13\times 15}$.
5.
Tentukan jumlah $\frac{1}{10}+\frac{1}{40}+\frac{1}{88}+\frac{1}{154}+\frac{1}{238}$.
6.
Evaluasi$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2009}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$
$-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2009}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)$.
7.
Tentukan jumlah $\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\cdots+\dfrac{1}{1+2+\cdots+51}$.
8.
Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif, tentukan nilai dari$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3}+\dfrac{2}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n}+\cdots+\dfrac{n}{n}+\dfrac{n-1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.
9.
Evaluasi $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots-2008^{2}+2009^{2}$.
10.
Tentukan jumlah $11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999$.
Soal Latihan (B)
1.
Hitung $\dfrac{3^{2}+1}{3^{2}-1}+\dfrac{5^{2}+1}{5^{2}-1}+\dfrac{7^{2}+1}{7^{2}-1}+\cdots+\dfrac{99^{2}+1}{99^{2}-1}$.
2.
Setelah disederhanakan, nilai dari$1-\dfrac{2}{1\cdot(1+2)}-\dfrac{3}{(1+2)(1+2+3)}-\dfrac{4}{(1+2+3)(1+2+3+4)}$
$-\cdots-\dfrac{100}{(1+2+\cdots+99)(1+2+\cdots+100)}$
adalah pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Tentukan selisih antara penyebut dan pembilangnya.
3.
Evaluasi $\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{100\times 101\times 102}$.
4.
Tentukan jumlah$\dfrac{1}{1+1^{2}+1^{4}}+\dfrac{2}{1+2^{2}+2^{4}}+\dfrac{3}{1+3^{2}+3^{4}}+\cdots+\dfrac{50}{1+50^{2}+50^{4}}$.
5.
Evaluasi ekspresi$\dfrac{1^{2}}{1^{2}-10+50}+\dfrac{2^{2}}{2^{2}-20+50}+\cdots+\dfrac{80^{2}}{80^{2}-80+50}$.
🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
📚 "Operasi Bilangan Rasional - Olympiad Courses", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei
