Transformasi Fungsi
🧭 Pengertian Transformasi Fungsi
Transformasi fungsi adalah perubahan bentuk grafik suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan pada rumus fungsi itu sendiri, baik pada variabel x maupun pada hasil fungsi y. Dengan kata lain, transformasi fungsi menunjukkan bagaimana grafik suatu fungsi berpindah posisi, berubah ukuran, atau dicerminkan tanpa mengubah bentuk dasarnya secara total.Transformasi Fungsi
🧠 Ayo Mengingat Kembali
- Transformasi adalah perubahan posisi dan/atau ukuran suatu objek, baik berupa titik, garis, kurva, ataupun bidang.
- Translasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan arah dan jarak tertentu atau biasa disebut pergeseran.
1. Translasi (Pergeseran)
Titik \(A(x, y)\) ditranslasikan oleh \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\) yang ditulis dengan:
Bentuk matriks translasi: \(T\left(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\right)\)
\(T\left(\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\right)\) disebut komponen translasi, dengan konstanta \(a\) adalah pergeseran secara horizontal, dan \(b\) adalah pergeseran secara vertikal.
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan tiap titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin (pencerminan). Suatu refleksi disebut refleksi terhadap garis \(M\), untuk \(M\) sebagai sumbu cermin.
Sifat Refleksi:
- Jarak titik semula dengan cermin sama dengan jarak cermin dengan titik bayangan.
- Garis penghubung dari titik semula dengan titik bayangan bersifat tegak lurus terhadap cermin.
- Garis-garis yang terletak antara titik semula dengan titik bayangan akan saling sejajar.
Jenis Refleksi:
Refleksi terhadap sumbu-\(x\)
Titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap sumbu-\(x\) menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\):
Atau: \(A'(x', y') = (x, -y)\)
Refleksi terhadap sumbu-\(y\)
Titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap sumbu-\(y\) menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\):
Atau: \(A'(x', y') = (-x, y)\)
Refleksi terhadap garis \(y = x\)
Titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap garis \(y = x\) menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\):
Atau: \(A'(x', y') = (y, x)\)
Refleksi terhadap garis \(y = -x\)
Titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap garis \(y = -x\) menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\):
Atau: \(A'(x', y') = (-y, -x)\)
3. Dilatasi (Penskalaan)
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak dari titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu.
Dilatasi terhadap titik pusat \((0,0)\)
Titik \((x, y)\) didilatasikan dengan faktor skala \(k\) terhadap titik pusat \((0,0)\), menghasilkan bayangan \((x', y')\).
\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]Sehingga: \((x', y') = (kx, ky)\)
Dilatasi terhadap titik pusat \((a,b)\)
Titik \((x, y)\) didilatasikan dengan faktor skala \(k\) terhadap titik pusat \((a, b)\), menghasilkan bayangan \((x', y')\).
\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\]4. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada suatu daerah dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh sudut tertentu terhadap suatu titik pusat tertentu.
Rotasi dapat dibedakan berdasarkan:
- Titik pusat rotasi
- Besar sudut rotasi
- Arah sudut rotasi
Catatan:
- Jika arah rotasi diputar searah jarum jam, maka besar sudut rotasinya negatif (\(-\alpha\)).
- Jika arah rotasi diputar berlawanan arah jarum jam, maka besar sudut rotasinya positif (\(\alpha\)).
Rotasi terhadap titik pusat \((0,0)\)
Jika koordinat titik semula \(A(x, y)\) dirotasikan dengan besar sudut \(\alpha\) terhadap pusat \((0,0)\), maka menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\) dengan:
\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]Contoh rotasi khusus:
- Rotasi \(90^\circ\) atau \(\frac{\pi}{2}\): \((x, y) \to (-y, x)\)
- Rotasi \(180^\circ\) atau \(\pi\): \((x, y) \to (-x, -y)\)
- Rotasi \(270^\circ\) atau \(\frac{3\pi}{2}\): \((x, y) \to (y, -x)\)
- Rotasi \(360^\circ\) atau \(2\pi\): \((x, y) \to (x, y)\)
Rotasi terhadap titik pusat \((a,b)\)
Jika koordinat titik semula \(A(x, y)\) dirotasikan dengan besar sudut \(\alpha\) terhadap pusat \((a,b)\), maka menghasilkan bayangan \(A'(x', y')\) dengan:
\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\]Ringkasan Transformasi
| Jenis Transformasi | Matriks Transformasi | Bayangan \((x', y')\) |
|---|---|---|
| Translasi oleh \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) | - | \((x + a, y + b)\) |
| Refleksi sumbu-\(x\) | \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) | \((x, -y)\) |
| Refleksi sumbu-\(y\) | \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) | \((-x, y)\) |
| Dilatasi faktor \(k\) | \(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\) | \((kx, ky)\) |
| Rotasi \(\theta\) | \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) | \((x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)\) |
🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:
📚 "Transformasi Fungsi", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda."Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei