Transformasi Fungsi

Transformasi Fungsi - Materi Lengkap

Transformasi Fungsi

🧠 Ayo Mengingat Kembali

Transformasi adalah perubahan posisi dan/atau ukuran suatu objek, baik berupa titik, garis, kurva, ataupun bidang.
Translasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan arah dan jarak tertentu atau biasa disebut pergeseran.

1. Translasi (Pergeseran)

Titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $A'(x', y')$ yang ditulis dengan:

$\left( \begin{vmatrix} x'\\y' \end{vmatrix} \right)=\left( \begin{vmatrix} x\\y \end{vmatrix} \right)+\left( \begin{vmatrix} a\\b \end{vmatrix} \right)$

Bentuk matriks translasi: $T\left(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\right)$

$T\left(\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\right)$ disebut komponen translasi, dengan konstanta $a$ adalah pergeseran secara horizontal, dan $b$ adalah pergeseran secara vertikal.

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan tiap titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin (pencerminan). Suatu refleksi disebut refleksi terhadap garis $M$, untuk $M$ sebagai sumbu cermin.

Sifat Refleksi:

Jarak titik semula dengan cermin sama dengan jarak cermin dengan titik bayangan.
Garis penghubung dari titik semula dengan titik bayangan bersifat tegak lurus terhadap cermin.
Garis-garis yang terletak antara titik semula dengan titik bayangan akan saling sejajar.

Jenis Refleksi:

Refleksi terhadap sumbu-x

Titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap sumbu-$x$ menghasilkan bayangan $A'(x', y')$:

$A(x, y) \xrightarrow{M_{x}} A'(x', y')$

$\left( \begin{vmatrix}x'\\y'\end{vmatrix} \right)= \left( \begin{vmatrix}1\\0\end{vmatrix} \right) \left( \begin{vmatrix}0\\-1\end{vmatrix} \right) \left( \begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix} \right)$

Atau: $A'(x', y') = (x, -y)$

Refleksi terhadap sumbu-y

Titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap sumbu-$y$ menghasilkan bayangan $A'(x', y')$:

$A(x, y) \xrightarrow{M_{y}} A'(x', y')$

$\left( \begin{vmatrix}x'\\y'\end{vmatrix} \right)= \left( \begin{vmatrix}-1\\0\end{vmatrix} \right) \left( \begin{vmatrix}0\\1\end{vmatrix} \right) \left( \begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix} \right)$

Atau: $A'(x', y') = (-x, y)$

3. Dilatasi (Penskalaan)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak dari titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu.

Dilatasi terhadap titik pusat (0,0)

Titik $(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $(0,0)$, menghasilkan bayangan $(x', y')$.

(

)

(

)

(

)

(

)

Sehingga: $(x', y') = (kx, ky)$

Dilatasi terhadap titik pusat (a,b)

Titik $(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $(a, b)$, menghasilkan bayangan $(x', y')$.

(

)

(

)

(

)

(

x - a

y - b

)

(

)

4. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada suatu daerah dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh sudut tertentu terhadap suatu titik pusat tertentu.

Rotasi dapat dibedakan berdasarkan:

Titik pusat rotasi
Besar sudut rotasi
Arah sudut rotasi

Catatan:

Jika arah rotasi diputar searah jarum jam, maka besar sudut rotasinya negatif ($-\alpha$).
Jika arah rotasi diputar berlawanan arah jarum jam, maka besar sudut rotasinya positif ($\alpha$).

Rotasi terhadap titik pusat (0,0)

Jika koordinat titik semula $A(x, y)$ dirotasikan dengan besar sudut $\alpha$ terhadap pusat $(0,0)$, maka menghasilkan bayangan $A'(x', y')$ dengan:

(

)

(

cos α

sin α

)

(

-sin α

cos α

)

(

)

Rotasi terhadap titik pusat (a,b)

Jika koordinat titik semula $A(x, y)$ dirotasikan dengan besar sudut $\alpha$ terhadap pusat $(a,b)$, maka menghasilkan bayangan $A'(x', y')$ dengan:

(

)

(

cos α

sin α

)

(

-sin α

cos α

)

(

x - a

y - b

)

(

)