LOGIKA MATEMATIKA👨‍🏫-SMA

Logika Matematika - SMA

📐 Logika Matematika

A. Kalimat Terbuka dan Pernyataan

📌 Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran yang pasti.

Contoh: Biarkan dia pergi!
Kapan kau menemuiya?
x + 1 > 0, x ∈ R
2 + x = 5

Pernyataan (proposisi) adalah kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran benar/salah, tidak keduanya pada saat bersamaan.
Dilambangkan huruf kecil (p, q, r, …), nilai kebenaran t(x) dengan B = benar, S = salah.

Contoh:
p : Hasil kali 5 dengan 6 adalah 30. t(p) = B
q : Seluruh bilangan prima adalah ganjil. t(q) = S
r : 20 + 3 > 1 t(r) = B
s : x² - x + 2 < 0. t(s) = S

B. Kuantor dan Negasi

Kuantor adalah simbol yang melambangkan kalimat terbuka dalam semesta pembicaraan pernyataan.

∀ Kuantor universal (setiap/semua)
∀x.p : semua x bersifat/berlaku bagi p.
a. Bernilai benar jika tidak ditemukan nilai x yang membuat p salah.
b. Bernilai salah jika ditemukan x yang membuat p salah.

∃ Kuantor eksistensial (beberapa/ada)
∃x.p : ada/beberapa x bersifat/berlaku bagi p.
a. Bernilai benar jika ditemukan nilai x yang membuat p benar.
b. Bernilai salah jika tidak ditemukan x yang membuat p benar.

Contoh:
P = {Adi, Ida, Rani}, Q = {Dita, Rina}
p(x,y) = “x adalah kakak y”
(∀x∈P)(∃y∈Q)(p(x,y)) : Untuk setiap x pada P, berhubungan dengan beberapa y pada Q, sedemikian hingga x adalah kakak dari y.
Berarti, setiap anggota P adalah salah satu kakak dari anggota Q (Dita/Rina).

Negasi (ingkaran) dilambangkan ~p, dibaca bukan atau tidak.

p	~p
B	S
S	B

p : Ibukota RI adalah Jakarta. t(p)=B
~p : Ibukota RI bukan Jakarta. t(~p)=S

q : 3 > 5 t(q)=S
~q : 3 ≤ 5 t(~q)=B

r : x² = 25 t(r)=B
~r : x² ≠ 25 t(~r)=S

C. Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan atau lebih dihubungkan operasi logika: konjungsi (∧), disjungsi (∨), implikasi (→), biimplikasi (↔).

D. Konjungsi & Disjungsi

∧ Konjungsi (p dan q) — bernilai benar jika keduanya B.

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh:
p : Hari ini hujan. (B)
q : Hari ini berangin. (B)
p ∧ q : Hari ini hujan dan berangin. (B)

∨ Disjungsi inklusif (p atau q) — bernilai salah hanya jika keduanya S.

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh:
p : 5+10=20 [S]
q : 20 bukan bilangan genap [S]
p∨q : 5+10=20 atau 20 bukan genap [S]

⊕ atau ⊻ Disjungsi eksklusif — benar jika hanya salah satu benar.

p	q	p ⊻ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Analogi rangkaian listrik: seri = konjungsi (arus mengalir jika semua tertutup), paralel = disjungsi (arus putus jika semua terbuka).

p	q	p∧q (seri)
1	1	tertutup
1	0	terbuka
0	1	terbuka
0	0	terbuka

p	q	p∨q (paralel)
1	1	tertutup
1	0	tertutup
0	1	tertutup
0	0	terbuka

Contoh rangkaian kompleks: [p ∨ (q ∧ r)] ∧ [s ∨ t]
(gambar analogi dapat dibuat dengan teks, intinya gabungan seri-paralel)

E. Implikasi (→)

Jika p maka q. Salah hanya jika hipotesis benar dan konsekuen salah (B → S = S).

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh: p: Hari ini mendung (B), q: Hari ini tidak hujan (S)
p → q : Jika mendung maka tidak hujan. [S]

Macam implikasi: konvers (q→p), invers (~p→~q), kontraposisi (~q→~p).

p	q	~p	~q	p→q	q→p	~p→~q	~q→~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

F. Biimplikasi (↔)

p jika dan hanya jika q. Bernilai benar jika nilai p dan q sama.

p	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

p: Hari ini tidak hujan [S], q: Hari ini tidak mendung [S]
p ↔ q : Hari ini tidak hujan jika dan hanya jika tidak mendung. [B]

G. Ekuivalensi dan Aljabar Logika

Ekuivalensi (≡) dapat dibuktikan dg tabel kebenaran / aljabar.

Tautologi: semua hasil benar
Kontradiksi: semua hasil salah
Kontingensi: campuran

⋆ Aljabar / sifat logika ⋆

Idempoten: p∧p ≡ p, p∨p ≡ p

Komplemen: p∧~p ≡ S, p∨~p ≡ B

Absorpsi: p∧(p∨q)≡p, p∨(p∧q)≡p

Involusi: ~(~p) ≡ p

Identitas: p∧B≡p, p∨B≡B, p∧S≡S, p∨S≡p

Komutatif: p∧q≡q∧p, p∨q≡q∨p

Asosiatif: p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r; p∨(q∨r)≡(p∨q)∨r

Distributif: p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r); p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)

Hukum De Morgan:

~(p∧q) ≡ ~p ∨ ~q

~(p∨q) ≡ ~p ∧ ~q

~(p→q) ≡ p ∧ ~q

~(p↔q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q

~(∃x.p) ≡ ∀x.(~p)

~(∀x.p) ≡ ∃x.(~p)

Implikasi: p→q ≡ ~p∨q, p→q ≡ ~q→~p, q→p ≡ ~p→~q, p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)

Contoh bukti ~(p↔q) ≡ ~p↔q (dengan tabel dan aljabar):

p	q	p↔q	~(p↔q)	~p	~p↔q
B	B	B	S	S	S
B	S	S	B	S	B
S	B	S	B	B	B
S	S	B	S	B	S

Aljabar: ~(p↔q) ≡ ~[(p→q)∧(q→p)] ≡ ~[(~p∨q)∧(~q∨p)]
≡ ~(~p∨q) ∨ ~(~q∨p) ≡ (p∧~q) ∨ (q∧~p)
≡ distributif … akhirnya ≡ ~p ↔ q.

H. Penarikan Kesimpulan

Sah jika (a ∧ b) → c adalah tautologi.

Modus Ponen
p→q
p
∴ q

Modus Tollens
p→q
~q
∴ ~p

Silogisme
p→q
q→r
∴ p→r

Contoh soal (analogi kalimat):
Premis: Jika A berteman dengan B, maka A tidak berteman dengan C.
C berteman dengan D atau C tidak berteman dengan A.
Jika A berteman dengan D, maka C tidak berteman dengan D.
Diketahui A berteman dengan D.

Pemodelan:
p = “A berteman dengan B”
q = “A berteman dengan C”
r = “C berteman dengan D”
s = “A berteman dengan D”

Pernyataan:
1) p → ~q
2) r ∨ q ≡ ~r → q
3) s → ~r
4) s (diketahui)
Kesimpulan: ∴ ~p (A tidak berteman dengan B).

🎯Terimakasih, anda telah membaca postingan dengan judul:

📚 "LOGIKA MATEMATIKA👨‍🏫-SMA", semoga postingan ini bermanfaat untuk anda.

"Matematika adalah bahasa yang digunakan alam untuk berbicara dengan kita." 😊- Galileo Galilei